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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Tridegré

Multidegré pour lequel k est égal successivement à 1, à 2 et à 3. Les trois identités suivantes sont des tridegrés :

0k + 5k + 5k + 10k = 1k + 2k + 8k + 9k. Si k = 1, l’identité est égale à 20 ; si k = 2, l’identité est égale à 150 ; si k = 3, l’identité est égale à 1250.

1k + 4k + 12k + 13k + 20k = 2k + 3k + 10k + 16k + 19k. Si k = 1, l’identité est égale à 50 ; si k = 2, l’identité est égale à 730 ; si k = 3, l’identité est égale à 11 990.

12k + 32k + 43k + 56k+ 67k + 87k = 21k + 23k + 34k + 65k + 76k + 78k. Si k = 1, l’identité est égale à 297 ; si k = 2, l’identité est égale à 18 211 ; si k = 3, l’identité est égale à 1 248 885. Dans les deux membres de ce dernier tridegré, les nombres d’un même rang sont constitués des mêmes chiffres.

Euler a donné une formule pour trouver des tridegrés. Soit pk + qk + rk + sk = tk + uk + vk + wk k = 1, 2 ou 3, on peut trouver des valeurs aux variables en fonction de a et de b de la façon suivante : p = a, q = b, r = 3a + 3b, s = 2a + 4b, t = 0, u = 2a + b, v = a + 3b, w = 3a + 4b. En posant a = 2 et b = 3, on a : 2k + 3k + 15k + 16k = 0k + 7k + 11k + 18k.

© Charles-É. Jean

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