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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Pratique

° Nombre pratique. – Un entier naturel est pratique aux deux conditions suivantes :

Il peut être représenté comme la somme de certains de ses diviseurs distincts d’au moins une façon.

Tous les entiers qui lui sont inférieurs correspondent à un de ses diviseurs ou sont la somme de certains de ses diviseurs distincts d’au moins une façon.

Par exemple, 12 est un nombre pratique. Ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Il peut être représenté notamment par 2 + 4 + 6. Aussi, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 6, 7 = 1 + 6, 8 = 2 + 6, 9 = 3 + 6, 10 = 4 + 6, 11 = 4 + 6 + 1. Le tableau suivant donne les 49 plus petits nombres pratiques.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

1

2

4

6

8

12

16

18

20

1

24

28

30

32

36

40

42

48

54

56

2

60

64

66

72

78

80

84

88

90

96

3

100

104

108

112

120

126

128

132

140

144

4

150

156

160

162

168

176

180

192

196

198


Voici quelques propriétés des nombres pratiques :

Les nombres premiers, sauf 2, ne sont pas pratiques, car leurs seuls diviseurs sont 1 et le premier.

Tout double d’un nombre premier à partir de 10 n’est pas pratique, car 4 ne peut pas être représenté.

Tout quadruple d’un nombre premier à partir de 44 n’est pas pratique, car au moins 8 ne peut pas être représenté.

Tout octuple d’un nombre premier à partir de 136 n’est pas pratique, car au moins 16 ne peut pas être représenté.

Les nombres impairs sauf 1 ne sont pas pratiques car 2 ne peut pas être représenté.

Toutes les puissances de 2 sont des nombres pratiques. Par exemple, les diviseurs de 32 sont 1, 2, 4, 8, 16 et 32.

Le produit de deux nombres pratiques est un nombre pratique.

© Charles-É. Jean

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