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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Pâques

° Date de Pâques. La fête chrétienne de Pâques est célébrée le premier dimanche suivant la pleine lune, soit celle qui arrive après l’équinoxe du printemps. Cet équinoxe a été fixé au 21 mars. Voici, à titre d’exemples, la date des pleines lunes de mars et d’avril et celle de Pâques de 2010 à 2015 :

Année

Pleine lune
de mars

Pleine lune d’avril

Date de
Pâques

2010

mardi 30

28

4 avril

2011

19

lundi 18

24 avril

2012

8

vendredi 6

8 avril

2013

mercredi 27

25

31 mars

2014

16

mardi 15

20 avril

2015

5

samedi 4

5 avril


Voici la date de Pâques pour les années 2001 à 2099 :

Année

Pâques

Année

Pâques

Année

Pâques

2001

15 avril

2002

31 mars

2003

20 avril

2004

11 avril

2005

27 mars

2006

16 avril

2007

8 avril

2008

23 mars

2009

12 avril

2010

4 avril

2011

24 avril

2012

8 avril

2013

31 mars

2014

20 avril

2015

5 avril

2016

27 mars

2017

16 avril

2018

1 avril

2019

21 avril

2020

12 avril

2021

4 avril

2022

17 avril

2023

9 avril

2024

31 mars

2025

20 avril

2026

5 avril

2027

28 mars

2028

16 avril

2029

1 avril

2030

21 avril

2031

13 avril

2032

28 mars

2033

17 avril

2034

9 avril

2035

25 mars

2036

13 avril

2037

5 avril

2038

25 avril

2039

10 avril

2040

1 avril

2041

21 avril

2042

6 avril

2043

29 mars

2044

17 avril

2045

9 avril

2046

25 mars

2047

14 avril

2048

5 avril

2049

18 avril

2050

10 avril

2051

2 avril

2052

21 avril

2053

6 avril

2054

29 mars

2055

18 avril

2056

2 avril

2057

22 avril

2058

14 avril

2059

30 mars

2060

18 avril

2061

10 avril

2062

26 mars

2063

15 avril

2064

6 avril

2065

29 mars

2066

11 avril

2067

3 avril

2068

22 avril

2069

14 avril

2070

30 mars

2071

19 avril

2072

10 avril

2073

26 mars

2074

15 avril

2075

7 avril

2076

19 avril

2077

11 avril

2078

3 avril

2079

23 avril

2080

7 avril

2081

30 mars

2082

19 avril

2083

4 avril

2084

26 mars

2085

15 avril

2086

31 mars

2087

20 avril

2088

11 avril

2089

3 avril

2090

16 avril

2091

8 avril

2092

30 mars

2093

12 avril

2094

4 avril

2095

24 avril

2096

15 avril

2097

31 mars

2098

20 avril

2099

12 avril


Au plus tôt, la fête de Pâques arrive le 22 mars et au plus tard, le 25 avril. Elle s’étale sur une période de 35 jours. Les six dates extrêmes arrivent moins souvent que les autres. De 1583 à 2400, cette fête arrive 

six fois le 22 mars : 1598, 1693, 1761, 1818, 2285, 2353

10 fois le 23 mars : 1636, 1704, 1788, 1845, 1856, 1913, 2008, 2160, 2228, 2380 

trois fois le 24 mars : 1799, 1940, 2391

huit fois le 23 avril : 1628, 1848, 1905, 1916, 2000, 2079, 2152, 2220

neuf fois le 24 avril : 1639, 1707, 1791, 1859, 2011, 2095, 2163, 2231, 2383

huit fois le 25 avril : 1666, 1734, 1886, 1943, 2038, 2190, 2258, 2326

C’est le 24 mars Pâques arrive le moins souvent. Pour chaque jour, les années du 20e et du 21e siècle sont données. 

22 mars : aucune année

23 mars : 1913, 2008

24 mars : 1940

25 mars : 1951, 2035, 2046

26 mars : 1967, 1978, 1989, 2062, 2073, 2084

27 mars : 1910, 1921, 1932, 2005, 2016

28 mars : 1937, 1948, 2027, 2032, 2100

29 mars : 1959, 1964, 1970, 2043, 2054, 2065

30 mars : 1902, 1975, 1986, 1997, 2059, 2070, 2081, 2092

31 mars : 1907, 1918, 1929, 1991, 2002, 2013, 2024, 2086, 2097

1 avril : 1923, 1934, 1945, 1956, 2018, 2029, 2040

2 avril : 1961, 1972, 2051, 2056

3 avril : 1904, 1983, 1988, 1994, 2067, 2078, 2089

4 avril : 1915, 1920, 1926, 1999, 2010, 2021, 2083, 2094

5 avril : 1931, 1942, 1953, 2015, 2026, 2037, 2048

6 avril : 1947, 1958, 1969, 1980, 2042, 2053, 2064

7 avril : 1901, 1912, 1985, 1996, 2075, 2080

8 avril : 1917, 1928, 2007, 2012, 2091

9 avril : 1939, 1944, 1950, 2023, 2034, 2045

10 avril : 1955, 1966, 1977, 2039, 2050, 2061, 2072

11 avril : 1909, 1971, 1982, 1993, 2004, 2066, 2077, 2088

12 avril : 1903, 1914, 1925, 1936, 1998, 2009, 2020, 2093, 2099

13 avril : 1941, 1952, 2031, 2036

14 avril : 1963, 1968, 1974, 2047, 2058, 2069

15 avril : 1906, 1979, 1990, 2001, 2063, 2074, 2085, 2096

16 avril : 1911, 1922, 1933, 1995, 2006, 2017, 2028, 2090

17 avril : 1927, 1938, 1949, 1960, 2022, 2033, 2044

18 avril : 1954, 1965, 1976, 2049, 2055, 2060

19 avril : 1908, 1981, 1987, 1992, 2071, 2076, 2082

20 avril : 1919, 1924, 1930, 2003, 2014, 2025, 2087, 2098

21 avril : 1935, 1946, 1957, 2019, 2030, 2041, 2052

22 avril : 1962, 1973, 1984, 2057, 2068

23 avril : 1905, 1916, 2000, 2079

24 avril : 2011, 2095

25 avril : 1943, 2038


On note qu’il existe parfois cinq ans entre deux fêtes comme pour le 13 avril, parfois six ans comme pour le 20 avril et plus souvent 11 ans comme pour le 12 avril. Les années bissextiles ont un rôle à jouer dans la variation de ces séquences. Voici trois façons de trouver la date de Pâques :

1. Formule de Gauss
Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) a imaginé une formule permettant de trouver la date à laquelle est célébrée la fête de Pâques pour une année donnée. Soit m l'année, p et q deux variables données dans le tableau suivant en fonction du siècle, pour trouver la date de Pâques dans le calendrier grégorien, on calcule successivement.

1. le reste de m/19 : c’est la valeur de a.

2. le reste de m/4 : c’est la valeur de b.

3. le reste de m/7 : c’est la valeur de c.

4. le reste de (19a + p)/30 : c’est la valeur de d.

5. le reste de (2b + 4c + 6d + q)/7 : c’est la valeur de e.

Les valeurs de p et de q varient de 100 ans en 100 ans. Voici les données :

siècles

1600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

2300

2400

p

22

23

23

24

24

24

25

26

25

q

2

3

4

5

5

6

0

1

1

La date de Pâques est le (22 + d + e) mars ou le (d + e - 9) avril. Voici deux exemples : 
En 1996, on trouve : a = 1, b = 0,  c = 1,  d = 13,  e = 3. Pâques eut lieu le (13 + 3 - 9) = 7 avril. 
En 2020, on trouve : a = 6,  b = 0,  c = 4, d = 18,  e = 3. Pâques aura lieu le (18 + 3 - 9) = 12 avril.

Marcel Simard a découvert que la formule de Gauss amène deux erreurs entre 1900 et 2078. En 1954, Pâques eut lieu le 18 avril alors que la formule donne le 25 avril. En 1981, cette fête eut lieu le 19 avril alors que la formule prévoit le 26 avril. Dans certains cas quand même rares, la date de la pleine lune ecclésiastique diffère légèrement de la pleine lune astronomique.

Pour trouver la date de Pâques dans le calendrier julien, on remplace p par 15 à l’étape 4 et q par 6 à l’étape 5.

2. Formule de O'Beirne
Le mathématicien écossais T. H. O’Beirne, en s’inspirant des travaux de Gauss, a donné cette formule qui s'applique aux années 1900 à 2099.

Soit m l’année, on fait les calculs suivants.

1. On soustrait 1900 de m : c’est la valeur de n.

2. On divise n par 19 : le reste est la valeur de a.

3. On divise (7a + 1) par 19 : la partie entière du quotient est b.

4. On divise (11a - b + 4) par 29 : le reste est c.

5. On divise n par 4 : la partie entière du quotient est d.

6. On divise (n - c + d + 31) par 7 : le reste est e.

La date de Pâques est le (25 - c - e) avril si le résultat est positif. S’il est négatif, le mois est mars. Le quantième est la somme de 31 et du résultat. Par exemple, si le résultat est -7, le quantième est 31 + -7 = 24. Voici deux exemples :

En 1954, on trouve : n = 54, a = 16, b = 5, c = 1, d = 13, e = 6. Pâques eut lieu le (25 - 1 - 6) = 18 avril.

En 1989, on trouve : n = 89, a = 13, b = 4, c = 27, d = 22, e = 3. Pâques eut lieu le (25 - 27 - 3) = -5. C’est donc le 26 mars.

3. Tableaux de Bakst
Dans Mathematical Puzzles and Pastimes, Aaron Bakst présente trois tableaux qui permettent de trouver la date de Pâques de 1800 à 2199. Dans le premier tableau, on recherche la case qui est à l’intersection des deux premiers et des deux derniers chiffres de l’année. Par exemple, pour l’année 2015, on trouve b à l’intersection de 20 et de 15.

Tableau 3.1

 

00 

01

02

03

 

04

05

 

06

07

 

08

09

10

11

 

 

12

13

14

15

 

16

 

17

18

19

 

20

21

22

 

23

 

24

25

26

27

 

 

28

29

30

31

 

32

33

 

34

35

 

36

37

38

39

 

 

40

41

42

43

 

44

 

45

46

47

 

48

49

50

 

51

 

52

53

54

55

 

 

56

57

58

59

 

60

61

 

62

63

 

64

65

66

67

 

 

68

69

70

71

 

72

 

73

74

75

 

76

77

78

 

79

 

80

81

82

83

 

 

84

85

86

87

 

88

89

 

90

91

 

92

93

94

95

 

 

96

97

98

99

 

 

18

a

b

c

d

e

f

g

19

f

g

a

b

c

d

e

20

e

f

g

a

b

c

d

21 c d e f g a b

Dans le deuxième tableau, on recherche de nouveau la case qui est à l’intersection des deux premiers et des deux derniers chiffres de l’année. Par exemple, pour l’année 2015, on trouve 23 à l’intersection de 20 et de 15.

Tableau 3.2

u

00

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

u

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

u

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

u

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

u

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

u

95

96

97

98

99

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

18 17 18 19 20 21 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

19

22

23

24

25

26

27

28

29

30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

27

28

29

30

1

2

3

4

5

6

7

19

9

10

22

23

24

25

26

21 3 4 5 6 7 19 9 10 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1

On va maintenant utiliser les résultats des deux premiers tableaux. Dans le troisième tableau,  on recherche la case qui est à l’intersection de la lettre b trouvée à partir du tableau 1 et du nombre 23 trouvé à partir du tableau 2. La case d'intersection contient 5. Les nombres des cellules vertes dans ce tableau correspondent au mois de mars et, les autres au mois d’avril. D’où, en 2015, Pâques sera le 5 avril.

Tableau 3.3

 

a

b

c

d

e

f

g

1

6

12

11

10

9

8

7

2

30

29

28

27

26

1

31

3

20

19

18

17

16

15

14

4

6

5

4

3

9

8

7

5

23

29

28

27

26

25

24

6

13

12

11

17

16

15

14

7

6

5

4

3

2

1

31

8

20

19

18

24

23

22

21

9

13

12

11

10

9

8

14

10

30

29

28

3

2

1

31

11

20

19

18

17

16

22

21

12

6

5

11

10

9

8

7

13

30

29

28

27

26

25

31

14

13

19

18

17

16

15

14

15

6

5

11

10

9

8

7

16

23

22

28

27

26

25

24

17

13

12

11

10

16

15

14

18

30

5

4

3

2

1

31

19

20

19

18

24

23

22

21

20

13

12

11

10

9

8

7

21

30

29

28

27

2

1

31

22

20

19

18

17

16

15

21

23

6

5

4

10

9

8

7

24

30

29

28

27

26

25

24

25

13

12

18

17

16

15

14

26

6

5

4

3

2

1

7

27

20

19

25

24

23

22

21

28

13

12

11

10

9

15

14

29

30

29

4

3

2

1

31

30

20

19

18

17

23

22

21

Dans le tableau 3.3 en 27c, on pouvait lire 18. Claude Paulet nous a signalé qu’il faudrait remplacer 18 par 25. La date de Pâques est associée à des récréations numériques.

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© Charles-É. Jean

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