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Dictionnaire
de mathématiques récréatives |
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Pagination
Classe
de récréations numériques dans
lesquelles on doit trouver le nombre m de chiffres requis pour paginer un
livre de n pages, le nombre de pages lorsque la pagination a nécessité m
chiffres ou encore le nombre de fois qu’un chiffre donné a été utilisé.
Voici un exemple dans chaque cas :
n Combien de chiffres sont
nécessaires pour paginer un ouvrage de 9999 pages ?
Le tableau indique le nombre de chiffres pour les nombres de 1, 2, 3 et 4
chiffres.
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Pages 1 à 9 |
1 ´ 9 ´
100 |
9 chiffres |
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Pages 10 à 99 |
2 ´ 9 ´
101 |
180 chiffres |
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Pages 100 à 999 |
3 ´ 9 ´
102 |
2 700 chiffres |
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Pages 1000 à 9999 |
4 ´ 9 ´
103 |
36 000 chiffres |
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Total |
38 889 chiffres |
Une autre façon de procéder est d’écrire les zéros non
significatifs, soit ceux devant le nombre, comme si chacun des nombres avait la
même quantité de chiffres que le plus grand. Voici le nombre de zéros non
significatifs par tranche :
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Page 0 |
0000 |
4 zéros |
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Pages 1 à 9 |
0001, 0002, 0003, ... |
3 ´ 9
= 27 zéros |
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Pages 10 à 99 |
0010, 0011, 0012, ... |
2 ´ 90 = 180
zéros |
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Pages 100 à 999 |
0100, 0101, 0102, ... |
1 ´ 900 = 900 zéros |
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Pages 1000 à 9999 |
1000, 1001, 1002, ... |
0 zéro |
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Total |
1111 zéros |
On fait (9999 + 1) ´ 4 = 40 000,
puis 40 000 - 1111 = 38 889. Bref, dans un intervalle dont tous les nombres ont m
chiffres chacun, le nombre de chiffres requis pour paginer est 10 m-1
× 9m. Pour écrire tous les entiers de 1 à n, il faut m(n
+ 1) - (10m - 1)/9 chiffres. Il faut 38 889 chiffres pour
paginer un ouvrage de 9999 pages.
n La pagination d’un livre a
nécessité 10 001 chiffres. Combien de pages contient ce livre ?
En consultant le premier tableau, on déduit que le nombre de pages est
constitué de quatre chiffres. On fait : 9 + 180 + 2700 = 2889, puis 10 0001 -
2889 = 7112. Il y a 7112 chiffres pour les nombres de quatre chiffres. On fait :
7112 ¸ 4 = 1778. Le livre contient 999 + 1778 = 2777
pages.
n Combien de chiffres 5 sont
nécessaires pour paginer un ouvrage de 9999 pages ?
Le tableau indique le nombre d’unités, de dizaines, de centaines et d’unités
de mille par tranche :
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Unités |
Dizaines |
Centaines |
Mille |
Total |
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Pages 1 à 99 |
10 |
10 |
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20 |
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Pages 100 à 999 |
90 |
90 |
100 |
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280 |
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Pages 1000 à 9999 |
900 |
900 |
900 |
1000 |
3700 |
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Total |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
4000 |
Pour les nombres de 1 à 99, on a 2 ´
101 = 20 chiffres 5 ; pour les nombres de 1 à 999, on a 3 ´
102 = 300 chiffres 5 ; pour les nombres de 1 à 9999, on a 4 ´
103 = 4000 chiffres 5.
© Charles-É. Jean
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: P
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