Dictionnaire de mathématiques récréative Maillon

Maillon

1^e Tout élément d'une chaîne de nombres. On connaît notamment les chaînes amiables, les chaînes narcissiques et les chaînes quadratiques.

2^e Récréation qui consiste à déterminer le nombre maximum m de maillons d’une chaîne dont s maillons sont sectionnés pour obtenir successivement de 1 à m maillons. La plus petite valeur de m est 7. Dans une chaîne de sept maillons marqués de A à F, on peut sectionner un seul maillon qui est le C (ou le E), soit le troisième d’une extrémité. On obtient deux chaînons : A-B et D-E-F-G.

On peut grouper les maillons ainsi :

1 maillon : C	2 maillons : A-B	3 maillons : A-B, C
4 maillons : D-G	5 maillons : C, D-G	6 maillons : A-B, D-G
7 maillons : A-G

Lorsque s maillons sont sectionnés, le premier chaînon complet est composé de (s + 1) maillons, le second de 2(s + 1) maillons, le troisième de 4(s + 1) maillons, ... et ainsi de suite en doublant successivement pour obtenir (s + 1) chaînons complets. Le nombre total m de maillons est égal à 2^s⁺¹(s + 1) - 1.

Soit s le nombre de maillons sectionnés, le rang du premier maillon sectionné est (s + 2) ; celui du second est (s + 2) + 2(s + 1) + 1 ou (3s + 5) ; celui du troisième est (3s + 5) + 4(s + 1) + 1 ou (7s +10) ; celui du quatrième est (7s + 10) + 8(s + 1) + 1 ou (15s + 19), ... et ainsi de suite.

Soit a le rang dans lequel les maillons sectionnés apparaissent, le rang r des maillons sectionnés par rapport aux autres maillons de la chaîne est r = (2^a^a + a - 1. Voici le nombre maximum de maillons m lorsque le nombre de maillons sectionnés varie de 1 à 7, de même que les trois premiers rangs r₁, r₂, r₃ des maillons sectionnés :

s

1

2

3

4

5

6

7

m

7

23

63

159

383

895

2047

r₁

3

4

5

6

7

8

9

r₂

11

14

17

20

23

26

r₃

31

38

45

52

59

Par exemple, dans une chaîne de 63 maillons, les maillons sont répartis : 4 + 1 + 8 + 1 + 16 + 1 + 32. Le 1 indique un maillon sectionné.

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