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Jumeaux
° Nombres premiers jumeaux.
– Se dit de deux nombres
premiers
dont la différence est
égale à 2. C’est l’Allemand Paul Stäckel (1862-1919) qui a introduit le
concept de jumeaux. Les 10 plus petites paires de nombres premiers jumeaux sont
: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73),
(101, 103), (107, 109). Le plus petit nombre premier impair qui n’a pas de
jumeau est 23. L’unité du premier terme d’une paire ne peut pas être 3,
sauf pour (3, 5). Il y a huit paires dont les termes sont inférieurs à 100, 35
paires inférieures à 1000 et 205 paires inférieures à 10 000.
Sauf pour la première paire, chaque
terme est de la forme 6n ± 1. De plus, la somme des nombres d’une
paire est un multiple de 12. La somme des chiffres de ces sommes est un multiple
de 3. Sauf pour les deux premières paires, la différence entre la somme des
nombres de deux paires successives est un multiple de 12. La différence est 12
quand les termes de mêmes rangs forment une paire de trijumeaux.
Le produit des deux nombres d’une
paire auquel on additionne 1 est un carré dont la racine est égale à la
moyenne des deux nombres. Par exemple, pour la troisième paire, on fait :
11 × 13 + 1 = 144. En extrayant la racine carrée de ce nombre, on obtient 12
qui est la moyenne. Ceci
est d'ailleurs vrai pour tout couple de nombres dont la différence est 2.
Il
existe 6 497 407 couples de nombres
premiers jumeaux parmi les 100 000 000 plus petits nombres premiers. On ne sait
pas si cette différence de 2 apparaît indéfiniment. Toutefois, il existe une
conjecture : Il y a un nombre infini de nombres premiers p tels que
(p + 2) est aIussi premier. En 2013, le mathématicien Yitang Zhang a
prouvé qu’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux dont la
différence peut être 2, 4, 6, 8, ... jusqu’à 70 millions. C’est
probablement un pas vers la démonstration de la proposition car, pour la
première fois, on a réussi à établir des valeurs fixes.
Voici cinq couples de nombres premiers
jumeaux :
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133 218 925 × 2169 690 ± 1 |
51 090 chiffres |
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260 194 061 × 2114 689 ± 1 |
34 533 chiffres |
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31 765 199 373 × 2107 520 ± 1 |
32 376 chiffres |
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4 318 032 361 × 2107 001 ± 1 |
32 220 chiffres |
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5180 7318 575 × 298 305 ± 1 |
29 603 chiffres |
Selon la différence entre les deux
nombres de la paire, on peut notamment établir les classes suivantes.
Nombres premiers bijumeaux
Se dit de deux nombres premiers dont la
différence est égale à 4. Les 10 plus petites paires de nombres premiers
bijumeaux sont : (3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67,
71), (79, 83), (97, 101), (103, 107). L’unité du premier terme d’une paire
ne peut pas être 1. Le seul nombre qui appartient à deux paires est 7. Il y a
huit paires dont les termes sont inférieurs à 100, 41 paires inférieures à
1000 et 203 paires inférieures à 10 000.
Sauf pour la première paire, la somme
des nombres d’une paire est un multiple de 6. La somme des chiffres de ces
sommes est un multiple de 3. Sauf pour les deux premières paires, la
différence entre la somme des nombres de deux paires successives est un
multiple de 12. La différence est 12 quand les termes de mêmes rangs forment
une paire de trijumeaux.
Le produit des deux nombres d’une
paire auquel on additionne 4 est un carré dont la racine est égale à la
moyenne des deux nombres. Par exemple, pour la troisième paire, on fait :
13 × 17 + 4 = 225. En extrayant la racine carrée de ce nombre, on obtient 15
qui est la moyenne.
Aussi appelés nombres premiers cousins.
Nombres premiers trijumeaux
Se dit de deux nombres premiers dont la
différence est égale à 6. Les 10 plus petites paires de nombres premiers
trijumeaux sont : (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31,
37), (37, 43), (41, 47), (47, 53). L’unité du premier terme d’une paire ne
peut pas être 9. Il y a 15 paires dont les termes sont inférieurs à 100, 74
paires inférieures à 1000 et 411 paires inférieures à 10 000.
La somme des nombres d’une paire est
un multiple de 4. La différence entre la somme des nombres de deux paires
successives est un multiple de 4. La différence est 4 quand les termes de
mêmes rangs forment une paire de jumeaux.
Le produit des deux nombres d’une
paire auquel on additionne 9 est un carré dont la racine est égale à la
moyenne des deux nombres. Par exemple, pour la troisième paire, on fait :
11 × 17 + 9 = 196. En extrayant la racine carrée de ce nombre, on obtient 14
qui est la moyenne.
Aussi appelés nombres premiers sexys.
Nombres premiers tétrajumeaux
Se dit de deux nombres premiers dont la
différence est égale à 8. Les 10 plus petites paires de nombres premiers
trijumeaux sont : (3, 11), (5, 13), (11, 19), (23, 31), (29, 37), (53, 61), (59,
67), (71, 79), (89, 97), (101, 109). L’unité du premier terme d’une paire
ne peut pas être 7. Il y a neuf paires dont les termes sont inférieurs à 100
et 38 paires inférieures à 1000.
Sauf pour la première paire, la somme
des nombres d’une paire est un multiple de 6. Sauf pour les deux premières
paires, la différence entre la somme des nombres de deux paires successives est
un multiple de 12. La différence est 12 quand les termes de mêmes rangs
forment une paire de trijumeaux.
Le produit des deux nombres d’une
paire auquel on additionne 16 est un carré dont la racine est égale à la
moyenne des deux nombres. Par exemple, pour la troisième paire, on fait :
11 × 19 + 16 = 225. En extrayant la racine carrée de ce nombre, on obtient 15
qui est la moyenne.
Nombres premiers pentajumeaux
Se dit de deux nombres premiers dont la
différence est égale à 10. Les 10 plus petites paires de nombres premiers
trijumeaux sont : (3, 13), (7, 17), (13, 23), (19, 29), (31, 41), (37, 47), (43,
53), (61, 71), (73, 83), (79, 89). Ce sont les seules paires dont les termes
sont inférieurs à 100. Il y a 51 paires inférieures à 1000 et 270 paires
inférieures à 10 000.
Sauf pour la première paire, la somme
des nombres d’une paire est un multiple de 12. Sauf pour les deux premières
paires, la différence entre la somme des nombres de deux paires successives est
un multiple de 12. La différence est 12 quand les termes de mêmes rangs
forment une paire de trijumeaux.
Le produit des deux nombres d’une
paire auquel on additionne 25 est un carré dont la racine est égale à la
moyenne des deux nombres. Par exemple, pour la troisième paire, on fait :
13 × 23 + 25 = 324. En extrayant la racine carrée de ce nombre, on obtient 18
qui est la moyenne.
Nombres premiers hexajumeaux
Se dit de deux nombres premiers dont la
différence est égale à 12. Les 10 plus petites paires de nombres premiers
hexajumeaux sont : (5, 17), (7, 19), (11, 23), (17, 29), (19, 31), (29, 41),
(31, 43), (41, 53), (47, 59), (59, 71). L’unité du premier terme d’une
paire ne peut pas être 3. Il y a 14 paires dont les termes sont inférieurs à
100 et 70 paires inférieures à 1000.
La somme des nombres d’une paire est
un multiple de 2. La différence entre la somme des nombres de deux paires
successives est un multiple de 4. La différence est 4 quand les termes de
mêmes rangs forment une paire de jumeaux.
Le produit des deux nombres d’une
paire auquel on additionne 36 est un carré dont la racine est égale à la
moyenne des deux nombres. Par exemple, pour la troisième paire, on fait :
17 × 29 + 36 = 529. En extrayant la racine carrée de ce nombre, on obtient 23
qui est la moyenne.
Dans le tableau suivant, M indique qu’il
s’agit de multiples. Les exceptions ne sont pas indiquées.
| |
Différence dans une paire |
Somme dans une paire :
M |
Différence entre deux
paires : M |
Produit dans une paire |
N. de paires < 100 |
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Jumeaux |
2 |
12 |
12 |
+ 1 |
8 |
|
Bijumeaux |
4 |
6 |
12 |
+ 4 |
8 |
|
Trijumeaux |
6 |
4 |
4 |
+ 9 |
15 |
|
Tétrajumeaux |
8 |
6 |
12 |
+ 16 |
9 |
|
Pentajumeaux |
10 |
12 |
12 |
+ 25 |
10 |
|
Hexajumeaux |
12 |
2 |
4 |
+ 36 |
14 |
© Charles-É. Jean
Index
: J-K
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