Égyptienne

° Fraction égyptienne. – Toute fraction utilisée par les Égyptiens : 2/3 et celles ayant 1 au numérateur. Toutes les autres fractions étaient écrites comme étant la somme de fractions égyptiennes. Par exemple, 11/12 = 2/3 + 1/4, 8/15 = 1/3 + 1/5, 2/7 = 1/4 + 1/28. 

Il existe une relation entre les fractions égyptiennes et les nombres parfaits. Quand on additionne les fractions égyptiennes dont le numérateur est 1 et dont le dénominateur est tout diviseur du nombre parfait en exceptant 1/1, la somme est toujours l’unité. Par exemple, par rapport à 6 qui est un nombre parfait on peut écrire : 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1. Par rapport à 28, un autre nombre parfait, on peut écrire : 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1. 

Selon le mathématicien hongrois Paul Erdös (1913-1996) et le mathématicien polonais Waclaw Sierpinski (1882-1969), 4/n et 5/n sont décomposables chacune pour tout n en la somme de trois fractions égyptiennes, en excluant 2/3.

© Charles-É. Jean

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