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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Bachet de Méziriac, Claude-Gaspard (1581-1638)

°  Poids de Bachet. Récréation de pesées proposée par Bachet en 1624 : Déterminez le nombre minimum de poids de masses différentes, qu'il faut utiliser pour peser tout objet allant de 1 à 40 livres inclusivement, tous les poids ayant une masse en valeurs entières. 

Bachet a donné deux solutions. En plaçant les poids sur un seul plateau, six poids de 1, 2, 4, 8, 16 et 32 livres suffisent. Avec n poids différents, on peut peser tout objet dont la masse s'élève jusqu'à (2n - 1) livres. En plaçant les poids sur les deux plateaux, quatre poids de 1, 3, 9 et 27 livres sont suffisants pour tous les objets de 1 à 40 livres si l’on place les poids de façon appropriée. 

Avec n poids différents, on peut peser tout objet dont la masse s'élève jusqu'à  (3n - 1)/2  livres. Par exemple, un objet de 14 livres peut être pesé avec des poids de 2, 4 et 8 livres sur un seul plateau, tel qu’illustré à gauche. Le même objet sera accompagné des poids de 1, 3 et 9 livres sur un plateau et le poids de 27 livres sur l'autre plateau viendra contrebalancer, tel qu’illustré à droite.

La récréation des poids de Bachet en est une de partition des nombres. 

Dans la première solution, on considère uniquement l'addition ; dans la seconde solution, l’on utilise aussi la soustraction. 

Voici les entiers naturels de 1 à 40 exprimés comme étant l'addition ou la soustraction des puissances de 3 :

 1 = 1

 2 = 3 - 1

 3 = 3

 4 = 3 + 1

 5 = 9 - 3 - 1

 6 = 9 - 3

 7 = 9 - 3 + 1

 8 = 9 - 1

 9 = 9

 10 = 9 + 1

 11 = 9 + 3 - 1 

 12 = 9 + 3

 13 = 9 + 3 + 1

 14 = 27 - 9 - 3 - 1

 15 = 27 - 9 - 3

 16 = 27 - 9 - 3 + 1

 17 = 27 - 9 - 1

 18 = 27 - 9

 19 = 27 - 9 + 1

 20 = 27 - 9 + 3 - 1

 21 = 27 - 9 + 3

 22 = 27 - 9 + 3 + 1

 23 = 27 - 3 - 1

 24 = 27 - 3

 25 = 27 - 3 + 1

 26 = 27 - 1

 27 = 27

 28 = 27 + 1

 29 = 27 + 3 - 1

 30 = 27 + 3

 31 = 27 + 3 + 1

 32 = 27 + 9 - 3 - 1

 33 = 27 + 9 - 3

 34 = 27 + 9 - 3 + 1

 35 = 27 + 9 - 1

 36 = 27 + 9

 37 = 27 + 9 + 1

 38 = 27 + 9 + 3 - 1

 39 = 27 + 9 + 3

 40 = 27 + 9 + 3 + 1

Les poids de Bachet sont associés aux récréations numériques.

© Charles-É. Jean

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