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Ceci est le 26e
article publié par Récréomath.
Triplets de Pythagore
Par
Charles-É. Jean
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Un triangle de Pythagore est un triangle rectangle dont
les côtés ont des mesures entières. Dans un triangle rectangle, la
somme des carrés des côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse.
On traduit cette proposition ainsi : x2 + y2
= z2, où x et y sont les côtés de l’angle
droit, et z l’hypoténuse. Le triplet correspondant est (x,
y, z).
Le triangle de Pythagore le plus connu est celui dont
les deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement 3 et 4 unités,
tandis que l’hypoténuse mesure 5 unités. Le triplet correspondant est
(3, 4, 5) ou (4, 3, 5). Ces deux triplets sont équivalents. Dans cet
article, nous présentons des algorithmes permettant de trouver des
triplets de Pythagore ; nous classons les triplets en familles ;
puis nous trouvons des formules pour trouver le nombre de triplets.
1. Représentation d’un
carré
Un carré, comme nombre, est le produit de deux facteurs égaux.
La suite des carrés est : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc. Une
propriété intéressante des carrés va inspirer une nouvelle approche
dans l’étude du triangle de Pythagore. Cette propriété s’énonce
ainsi : "Tout carré est la somme d’entiers impairs
consécutifs à partir de 1." Par exemple,
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =
36
Comme nombre figuré, un carré peut être représenté
notamment sous forme de triangles de boules.
a) Par un triangle isocèle
|
o
1 |
o
o o o
4 |
o
o o o
o o o o o
9 |
o
o o o
o o o o o
o o o o o o o
16 |
o
o o o
o o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o o o
25 |
b) Par un triangle rectangle
|
o
1 |
o
o o o
4 |
o
o o o
o o o o o
9 |
o
o o o
o o o o o
o o o o o o o
16 |
o
o o o
o o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o o o
25 |
2. Suites des nombres impairs à
partir de 1
Trois éléments sont importants dans la suite des nombres
impairs lorsqu’elle commence par 1 : le dernier terme, le nombre de
termes et leur somme.
Proposition 1. Soit d le dernier terme d’une
suite, le nombre n de termes est égal à (1 + d)/2.
Par exemple, lorsque le dernier terme est 19, on fait : (1 + 19)/2 =
10. Le nombre de termes est 10. La suite est : 1 + 3 + 5 + ... + 17 +
19.
Proposition 2. Soit d le dernier terme d’une
suite, la somme des termes S est égale à (1 +
d)2/4. Par exemple, lorsque le dernier terme est 19, on
fait : (1 + 19)2/4 = 100. La somme est 100.
Proposition 3. Soit n le nombre de termes d’une
suite, le dernier terme d est égal à (2n - 1). Par exemple,
lorsque la suite a 10 termes, on fait : 2 × 10 - 1 = 19. Le 10e
terme de cette suite est 19.
Proposition 4. Soit n le nombre de termes d’une
suite, leur somme S est égale à n2.
Par exemple, lorsque la suite a 10 termes, on fait : 102 =
100. La somme des termes de la suite de 10 termes est 100.
Proposition 5. Soit S la
somme des termes, le nombre de termes n est la racine carrée de S
. Par exemple, lorsque la somme est 100, on fait : Ö
100 = 10. Le nombre de termes est 10.
Proposition 6. Soit S la
somme des termes, le dernier terme d est égal au double de la
racine carrée de la somme moins 1. Par exemple, lorsque la somme est 100,
on fait : 2Ö 100 - 1 = 19. Le dernier
terme est 19.
Bref, soit d le dernier terme, n le
nombre de termes et S la somme, on a les
formules suivantes :
|
d =
2n - 1 |
n
= (1 + d)/2 |
S = (1 + d)2/4 |
|
d =
2Ö S - 1 |
n
= Ö S |
S = n2 |
3. Par
sommation
Une suite de nombres impairs à partir de 1 étant donnée, on
peut dans certains cas la scinder en deux parties de façon que la somme
des termes de chaque partie soit un carré. Par exemple, on prend la suite
1, 3, 5, 7, 9, 11, ... , 23, 25. On scinde la suite entre le 9 et le 11.
La somme des termes de la première suite est nécessairement un carré.
La somme des termes de 11 à 25 est 144, qui est un carré. La somme des
nombres de la suite complète est aussi nécessairement un carré.
On a donc :
Première suite partielle : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. C’est le carré
de 5.
Deuxième suite partielle : 11 + 13 + 15 + ... + 23 + 25 = 144. C’est
le carré de 12.
Suite complète : 1 + 3 + 5 + ... + 23 + 25 = 169. C’est le carré
de 13.
De ces résultats, on tire un triangle de Pythagore
dont les côtés mesurent respectivement 5, 12 et 13 unités. On
représente ce triangle par le triplet (5, 12, 13).
Pour trouver un triplet de Pythagore, lorsqu’un
côté de l’angle droit est connu, on peut procéder ainsi.
1. On trouve le
dernier terme d de la suite. C’est la première suite partielle.
2. On fait la
somme des termes qui dépassent d. C’est la deuxième suite
partielle. Quand on atteint une somme qui est un carré, on extrait sa
racine carrée.
3. On fait la
somme des termes des deux suites partielles. On extrait la racine carrée
de cette somme.
4. On écrit le
triplet correspondant qui est formé par la mesure du côté connu, par la
racine carrée de la somme de la deuxième suite partielle et par la
racine carrée de la somme de la suite complète.
Exemple. La mesure d’un côté de l’angle droit est
de 12 unités.
Dans ce cas, il existe quatre triplets.
Premier triplet
Le dernier terme de cette suite est 23. On écrit : 1 + 3 + 5 +
... + 21 + 23. La somme des termes est 144 qui est le carré de 12. On
écrit les termes qui viennent après 23, soit 25, 27, 29, 31, ... etc. On
note que 25 est un carré.
On a donc :
1 + 3 + 5 + ... + 23 = 144. C’est le carré de 12.
25 = 25. C’est le carré de 5.
1 + 3 + 5 + ... + 23 + 25 = 169. C’est le carré de 13.
Le triplet est (12, 5, 13). Les deux côtés de l’angle
droit mesurent respectivement 12 et 5 unités. L’hypoténuse est de 13
unités.
Deuxième triplet
On reprend la suite : 25, 27, 29, 31, ... etc. À partir de 25,
on additionne successivement chacun des termes. Au fur et à mesure, on
vérifie si la somme obtenue est un carré. On note que la somme 81 est un
carré.
On a donc :
1 + 3 + 5 + ... + 21 + 23 = 144. C’est le carré de 12.
25 + 27 + 29 = 81. C’est le carré de 9.
1 + 3 + 5 + ... + 27 + 29 = 225. C’est le carré de 15.
Le triplet est (12, 9, 15). Les deux côtés de l’angle
droit mesurent respectivement 12 et 9 unités. L’hypoténuse est de 15
unités.
Troisième triplet
On reprend la suite : 25, 27, 29, 31, ... etc. À partir de 25,
on additionne successivement chacun des termes. Au fur et à mesure, on
vérifie si chaque somme est un carré. On note que la somme 256 est un
carré.
On a donc :
1 + 3 + 5 + ... + 21 + 23 = 144. C’est le carré de 12.
25 + 27 + 29 + ... + 37 + 39 = 256. C’est le carré de 16.
1 + 3 + 5 + ... + 37 + 39 = 400. C’est le carré de 20.
Le triplet est (12, 16, 20). Les deux côtés de l’angle
droit mesurent respectivement 12 et 16 unités. L’hypoténuse est de 20
unités.
Quatrième triplet
On fait les mêmes opérations que précédemment. On aboutit à une
somme de 1225, qui est le carré de 35.
On a donc :
1 + 3 + 5 + ... + 21 + 23 = 144. C’est le carré de 12.
25 + 27 + 29 + ... + 71 + 73 = 1225. C’est le carré de 35.
1 + 3 + 5 + ... + 71 + 73 = 1369. C’est le carré de 37.
Le triplet est (12, 35, 37). Les deux côtés de l’angle
droit mesurent respectivement 12 et 35 unités. L’hypoténuse est de 37
unités.
Bref, lorsque l’un des côtés de l’angle droit
mesure 12 unités, on trouve quatre triplets.
|
x |
y |
z |
|
12 |
5 |
13 |
|
12 |
9 |
15 |
|
12 |
16 |
20 |
|
12 |
35 |
37 |
3.2 Lorsque l’hypoténuse est connue.
Lorsque la mesure de l’hypoténuse est connue, on procède ainsi.
1. On trouve le
dernier terme de la suite.
2. En partant
du dernier terme de la suite, on trouve la somme des termes consécutifs
de façon décroissante.
3. On note les
carrés obtenus et on calcule leur rang en extrayant la racine carrée. On
trouve ainsi les côtés de l’angle droit.
Exemple. L’hypoténuse mesure 15 unités.
Le dernier terme est 29. Alors, 225 = 1 + 3 + 5 + ... + 27 + 29. En
faisant la somme de façon décroissante, on obtient : 29, 56, 81,
104, 125, 144, 161, 176, 189, 200, 209, 216, 221, 224, 225. À l’exception
de 225, on repère deux sommes qui sont des carrés : 81 et 144.
On a un premier triplet.
1 + 3 + 5 + ... + 15 + 17 = 81. On fait : Ö
81 = 9. Un côté de l’angle droit est 9.
19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 144. On fait : Ö
144 = 12. L’autre côté de l’angle droit est 12.
On a un second triplet équivalant au premier.
1 + 3 + 5 + ... + 21 + 23 = 144. On fait : Ö
144 = 12. Un côté de l’angle droit est 12.
25 + 27 + 29 = 81. On fait : Ö 81 = 9. L’autre
côté de l’angle droit est 9.
Le seul triangle de Pythagore dont l’hypoténuse est
15 est représenté par le triplet (9, 12, 15) ou (12, 9, 15).
Exemple. L’hypoténuse mesure 25 unités.
Le dernier terme est 49. Alors, 625 = 1 + 3 + 5 + ... + 47 + 49. En
procédant comme précédemment, à part 625, on repère quatre sommes qui
sont des carrés : 49, 225, 400 et 576.
On a un premier triplet.
1 + 3 + 5 + ... + 11 + 13 = 49. Un côté de l’angle droit est 7.
15 + 17 + 19 + ... + 47 + 49 = 576. L’autre côté est 24.
Le triangle de Pythagore est représenté par (7, 24,
25).
On a un second triplet.
1 + 3 + 5 + ... + 27 + 29 = 225. Un côté de l’angle droit est 15.
31 + 33 + 35 + ... + 47 + 49 = 400. L’autre côté est 20.
Le triangle de Pythagore est
représenté par le triplet (15, 20, 25).
4. Par différence de
carrés
Un autre algorithme peut être appliqué quand on connaît un
côté de l’angle droit. Soit le triplet (x, y, z),
où x et y sont les côtés de l’angle droit et où z est
l’hypoténuse.
1. On choisit
un nombre x.
2. On élève
ce nombre au carré, soit x2.
3. On recherche
deux facteurs a et b de x2. L’un des
deux facteurs doit être inférieur à x. Les deux facteurs doivent
être de même parité et non égaux.
4. On
fait : (a + b)/2 = z, c’est l’hypoténuse.
5. On
fait : (b - a)/2 = y, c’est l’autre
côté de l’angle droit.
Exemple. Un côté de l’angle droit est de 15 unités.
Le carré de 15 est 225. Les facteurs acceptables de 225 sont : 1
× 225, 3 × 75, 5 × 45, 9 × 25. On procède comme dans ce tableau.
|
Facteurs |
(a + b)/2 = z |
(b - a)/2 = y |
Triplets |
|
1 × 225 |
(1 + 225)/2 = 113 |
(225 -1)/2 = 112 |
(15, 112, 113) |
|
3 × 75 |
(3 + 75)/2 = 39 |
(75 - 3)/2 = 36 |
(15, 36, 39) |
|
5 × 45 |
(5 + 45)/2 = 25 |
(45 - 5)/2 = 20 |
(15, 20, 25) |
|
9 × 25 |
(9 + 25)/2 = 17 |
(25 - 9)/2 = 8 |
(15, 8, 17) |
5. Familles de triplets
de Pythagore
En se basant sur la différence entre l’hypoténuse et un
côté de l’angle droit, on peut trouver de nombreux triplets de
Pythagore. Lorsque la différence est la même d’un triplet à l’autre,
on parle d’une famille de triplets de Pythagore.
Soit x2 + y2 = z2,
alors x2 = (z + y)(z - y).
Quatre exemples sont donnés.
Famille dont la différence est 1.
Si z - y = 1, alors x2 = z + y.
Il s’ensuit que y et z sont deux nombres consécutifs. La
somme de deux nombres consécutifs est impaire. D’où, x ne peut
pas être pair. On prend successivement les nombres impairs. Pour chacun
de ces nombres à partir de 3, on peut établir un triplet. Voici les plus
petits triplets de cette famille :
|
x |
y |
z |
|
3 |
4 |
5 |
|
5 |
12 |
13 |
|
7 |
24 |
25 |
|
9 |
40 |
41 |
|
11 |
60 |
61 |
|
13 |
84 |
85 |
|
15 |
112 |
113 |
|
... |
... |
... |
La première colonne contient une suite dont la raison
est 2. La deuxième colonne contient une suite dont le terme général est
2n(n + 1) où n est le rang du terme. Chaque nombre
est le quadruple d’un nombre triangulaire. Dans la troisième colonne, z
= y + 1.
Connaissant la valeur de x, pour trouver le
triplet correspondant, on élève x au carré. On cherche deux
nombres dont la somme est x2 et dont la différence est
1. Soit 11 le premier terme, le carré est 121. On fait : 121 ÷ 2 =
60,5. L’un des termes est 60 et l’autre 61.
Famille dont la différence est 2.
Si z - y = 2, alors x2 = 2(z + y).
Il s’ensuit que y et z sont deux nombres consécutifs
pairs ou deux nombres consécutifs impairs. Dans les deux cas, la somme
des deux nombres est paire. D’où, x est nécessairement pair. On
prend successivement les nombres pairs. Pour chacun de ces nombres à
partir de 4, on peut établir un triplet. Voici les plus petits triplets de
cette famille :
|
x |
y |
z |
|
4 |
3 |
5 |
|
6 |
8 |
10 |
|
8 |
15 |
17 |
|
10 |
24 |
26 |
|
12 |
35 |
37 |
|
14 |
48 |
50 |
|
16 |
63 |
65 |
|
... |
... |
... |
La première colonne contient une suite dont la raison
est 2. La deuxième colonne contient une suite dont le terme général est
n(n + 2) où n est le rang du terme. Dans la
troisième colonne, z = y + 2.
Connaissant la valeur de x, pour trouver le
triplet correspondant, on élève x au carré. On cherche deux
nombres dont la somme est x2/2 et dont la différence
est 2. Soit 10 le premier terme, le carré est 100. On fait : 100 ÷
4 = 25, puis 25 - 1 = 24. L’un des termes est 24 et l’autre 26.
Famille dont la différence est 3.
Si z - y = 3, alors x2 = 3(z + y).
On prend successivement de 6 en 6 les nombres à partir de 9. Pour chacun
de ces nombres, on peut établir un triplet. Voici les plus petits
triplets de cette famille :
|
x |
y |
z |
|
9 |
12 |
15 |
|
15 |
36 |
39 |
|
21 |
72 |
75 |
|
27 |
120 |
123 |
|
33 |
180 |
183 |
|
39 |
252 |
255 |
|
45 |
336 |
339 |
|
... |
... |
... |
La première colonne contient une suite dont la raison
est 6. La deuxième colonne contient une suite dont le terme général est
6n(n + 1) où n est le rang du terme. Chaque nombre
est égal à 12 fois un nombre triangulaire. Dans la troisième colonne, z
= y + 3.
Connaissant la valeur de x, pour trouver le
triplet correspondant, on élève x au carré. On cherche deux
nombres dont la somme est x2/3 et dont la différence
est 3. Soit 21 le premier terme, le carré est 441. On fait : 441 ÷
6 = 73,5, puis 73,5 - 1,5 = 72. L’un des termes est 72 et l’autre 75.
Famille dont la différence est 8.
Si z - y = 8, alors x2 = 8(z + y).
On prend successivement de 8 en 8 les nombres à partir de 12. Pour chacun
de ces nombres, on peut établir un triplet. Voici les plus petits
triplets de cette famille :
|
x |
y |
z |
|
12 |
5 |
13 |
|
20 |
21 |
29 |
|
28 |
45 |
53 |
|
36 |
77 |
85 |
|
44 |
117 |
125 |
|
52 |
165 |
173 |
|
60 |
221 |
229 |
|
... |
... |
... |
La première colonne contient une suite dont la raison
est 8. La deuxième colonne contient une suite dont le terme général est
(2n - 1)(2n + 3) où n est le rang du terme. Dans la
troisième colonne, z = y + 8.
Connaissant la valeur de x,
pour trouver le triplet correspondant, on élève x au carré. On
cherche deux nombres dont la somme est x2/8 et dont la
différence est 8. Soit 20 le premier terme, le carré est 400. On
fait : 400 ÷ 16 = 25, puis 25 - 4 = 21. L’un des termes est 21 et
l’autre 29.
6. Dénombrement de
triplets de Pythagore
6.1 Formule de Beiler
Albert H. Beiler, dans Recreations in the Theory of Numbers, a
donné une formule qui permet de trouver le nombre de triangles de
Pythagore quand on connaît un côté de l’angle droit. Nous avons
légèrement modifié cette formule et nous la présentons en écriture
simplifiée. La voici :
Soit un côté de l’angle droit dont les facteurs
sont : ap, bq, cr,
ds, ... , le nombre de triplets est : ½[(2p
+ 1)(2q + 1)(2r + 1)(2s + 1) ... - 1]
. Lorsqu’un côté de l’angle droit est pair, on remplace alors p
par (p - 1).
Par exemple, si le côté de l’angle droit est 45,
les facteurs sont 32 et 5. On écrit : p = 2 et q
= 1. En appliquant ces valeurs dans la formule, on obtient ½[
(5)(3) - 1] qui est égal à 7. D’où, il
existe sept triplets de Pythagore lorsqu’un côté de l’angle droit
est 45. Le plus petit triplet est (45, 24, 51).
Par exemple, si le côté de l’angle droit est 200,
les facteurs sont 23 et 52. On écrit : p
= 3 et q = 2. Comme 200 est pair, on considère que p = 2.
En appliquant ces valeurs dans la formule, on obtient ½[
(5)(5) - 1] qui est égal à 12. D’où, il
existe 12 triplets de Pythagore lorsqu’un côté de l’angle droit est
200. Le plus petit triplet est (200, 45, 205).
Nous allons adapter cette formule dans quelques cas.
6.1.1 Le nombre donné est premier ou une de ses
puissances.
1e Le nombre donné est un premier impair de puissance p.
· Il existe un seul triplet pour tout
nombre premier impair. Par exemple, lorsqu’un côté de l’angle droit
est 7, le seul triplet est (7, 24, 25).
· Lorsqu’un nombre
premier impair est élevé à la puissance 2, il existe deux triplets. Par
exemple, lorsqu’un côté de l’angle droit est 9, les deux triplets
sont (9, 12, 15) et (9, 40, 41). Le premier triplet est le triple de (3,
4, 5) et le second est primitif, en ce sens que ses termes n’ont pas de
facteur commun.
· Lorsqu’un nombre
premier impair est élevé à la puissance 3, il existe trois triplets. Par
exemple, lorsqu’un côté de l’angle droit est 27, les trois triplets
sont (27, 36, 45), (27, 120, 123) et (27, 364, 365). Le premier triplet
est égal à neuf fois (3, 4, 5), le second est le triple de (9, 40, 41)
et le troisième est primitif.
De façon générale, lorsque le nombre donné est
impair de puissance p, il existe p triplets. En effet, la
formule correspondante est ½[ (2p + 1)
- 1] , qui est égal à p.
2e Le nombre donné
est le seul nombre premier pair de puissance p, soit 2.
On peut représenter ce nombre par ap où a =
2.
·
Il n’existe pas de triplet de Pythagore quand p = 1.
·
Il existe un seul triplet quand p = 2. C’est le triplet (4, 3,
5).
·
Il existe deux triplets quand p = 3. Ce sont les triplets (8, 6,
10) et (8, 15, 17).
·
Il existe trois triplets quand p = 4. Ce sont les triplets (16, 12,
20), (16, 30, 34) et (16, 63, 65).
De façon générale, lorsque le nombre donné est pair
de puissance p, il existe (p - 1) triplets. En effet, on
prend la formule correspondante et on remplace p par (p -
1). Cela donne : ½[(2(p - 1) + 1 -
1] = p - 1.
6.1.2 Le nombre
donné peut être décomposé en deux puissances de facteurs premiers.
1e
Les deux facteurs sont des nombres premiers impairs élevés à diverses
puissances.
On les exprime
ainsi : ap et bq. Voici un
tableau qui donne le nombre de triplets pour les valeurs de p et de
q allant de 1 à 5 :
|
|
b |
b 2 |
b 3 |
b 4 |
b 5 |
|
|
a |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
+ 3 |
|
a 2 |
7 |
12 |
17 |
22 |
27 |
+ 5 |
|
a 3 |
10 |
17 |
24 |
31 |
38 |
+ 7 |
|
a 4 |
13 |
22 |
31 |
40 |
49 |
+ 9 |
|
a 5 |
16 |
27 |
38 |
49 |
60 |
+ 11 |
|
|
+ 3 |
+ 5 |
+ 7 |
+ 9 |
+ 11 |
|
Par exemple, sachant que 675 est formé de deux
facteurs premiers 33 et 52, on recherche a3b2
ou a2b3 dans le tableau. Le nombre de
triplets pour 675 est 17.
Le nombre de triplets est donné par la formule simplifiée 2pq
+ p + q.
2e L’un des deux facteurs est 2 ou une
puissance de 2.
On remplace p par (p - 1) dans la formule précédente.
Par exemple, lorsqu’un côté de l’angle droit est 48, les facteurs
sont 24 et 3. On prend p = 3 et q = 1. On a alors :
2 × 3 + 3 + 1 = 10. Il existe 10 triplets pour 48.
6.1.3 Le nombre donné peut être décomposé en trois
puissances de facteurs premiers.
Étudions le cas où les trois facteurs sont impairs, donc formés par
des nombres premiers impairs élevés à des puissances quelconques.
Premier tableau
Les facteurs a et b prennent des puissances diverses,
tandis que c est invariant. On a donc ap, bq
et cr où r = 1.
|
|
bc |
b 2c |
b 3c |
b 4c |
D |
|
a |
13 |
22 |
31 |
40 |
+ 9 |
|
a 2 |
22 |
37 |
52 |
67 |
+ 15 |
|
a 3 |
31 |
52 |
73 |
94 |
+ 21 |
|
a 4 |
40 |
67 |
94 |
121 |
+ 27 |
|
D |
+ 9 |
+ 15 |
+ 21 |
+ 27 |
|
Ayant une expression de la forme a2b3c,
le tableau indique que celle-ci génère 52 triplets. Le plus petit nombre
qui correspond à cette expression est 52 × 33 × 7
= 4725. Lorsqu’un côté de l’angle droit est 4725, il existe 52
triplets. Le plus petit triplet est (4725, 364, 4739).
Le nombre de triplets est donné par la formule
simplifiée 6pq + 3(p + q) + 1.
Deuxième tableau
Les facteurs a et b prennent des puissances diverses,
tandis que c2 est invariant. On a donc ap,
bq et cr où r = 2.
|
|
bc 2 |
b 2c2 |
b 3c2 |
b 4c2 |
D |
|
a |
22 |
37 |
52 |
67 |
+ 15 |
|
a 2 |
37 |
62 |
87 |
112 |
+ 25 |
|
a 3 |
52 |
87 |
122 |
157 |
+ 35 |
|
a 4 |
67 |
112 |
157 |
202 |
+ 45 |
|
D |
+ 15 |
+ 25 |
+ 35 |
+ 45 |
|
La formule simplifiée est 10pq + 5(p + q)
+ 2.
Lorsque r varie, on peut appliquer la formule 4pqr
+ 2(pq + pr + qr) + p + q + r.
6.2 Valeurs de 1 à 100 pour un côté de l’angle
droit
Le tableau suivant donne le nombre de triplets de Pythagore pour tout
nombre de 1 à 99 qui est un côté de l’angle droit.
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
- |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
1 |
4 |
3 |
1 |
2 |
1 |
|
2 |
4 |
4 |
1 |
1 |
7 |
2 |
1 |
3 |
4 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
4 |
4 |
1 |
4 |
7 |
1 |
1 |
4 |
|
4 |
7 |
1 |
4 |
1 |
4 |
7 |
1 |
1 |
10 |
2 |
|
5 |
2 |
4 |
4 |
1 |
3 |
4 |
7 |
4 |
1 |
1 |
|
6 |
13 |
1 |
1 |
7 |
5 |
4 |
4 |
1 |
4 |
4 |
|
7 |
4 |
1 |
12 |
1 |
1 |
7 |
4 |
4 |
4 |
1 |
|
8 |
10 |
4 |
1 |
1 |
13 |
4 |
1 |
4 |
7 |
1 |
|
9 |
7 |
4 |
4 |
4 |
1 |
4 |
13 |
1 |
2 |
7 |
En guise de conclusion
Pour terminer, voici six problèmes dont la solution n’est pas
donnée.
1. Trouvez au moins un triplet dont la différence entre l’hypoténuse
et un côté de l’angle droit est 5.
2. Trouvez le plus petit côté de l’angle droit qui
est supérieur à 100 et qui peut appartenir à 13 triplets de Pythagore.
3. Trouvez au moins un triplet de Pythagore dont un
côté de l’angle droit est 21 ?
4. Un côté de l’angle droit est de 1000. Combien
existe-t-il de triplets de Pythagore ?
5. À part 1 et 2, existe-t-il des nombres qui ne
peuvent pas appartenir à un triplet de Pythagore ?
6. Quel est le plus grand nombre inférieur à 1000 qui
génère le plus de triplets ?
FIN
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