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Ceci est le 21e article publié par Récréomath.


Cavalerie latine

Par Charles-É. Jean

 

"Dans la Rome antique, l’empereur a fait construire une écurie comprenant 25 stalles agencées comme ci-après. En parcourant la campagne, il a déniché cinq fiers chevaux qu’il a expropriés. Il les a nommés : Albinus, Boulinus, Camerius, Dominus et Equinus. Le chevalier Magnus a logé les chevaux selon l’édit de l’empereur. Le 1er mois, il les a placés en ordre selon leur initiale dans la première rangée de stalles. Le 2e mois, il a repris le même ordre, en commençant par la 2e stalle et en ramenant E à la 1ère stalle. Il a fait de même les trois autres mois de façon circulaire en commençant par une stalle suivante. Voici la disposition des chevaux pendant les cinq premiers mois :

Dans chaque rangée horizontale et dans chaque rangée verticale, le même cheval a occupé une stalle une seule fois. Magnus a ainsi formé un carré latin. Après cette première configuration, Magnus a disposé autrement ses chevaux en respectant deux règles.

1. La disposition est toujours la même dans la première rangée horizontale.

2. Les chevaux sont toujours dans un même ordre circulaire.

Le roi a promis au chevalier Magnus qu’il conserverait son titre tant que les configurations différentes n’auront pas toutes été réalisées. Combien de temps Magnus pourra-t-il conserver son titre ?"

Sommaire

Analyse et extension du problème

1.0 Carrés latins remarquables

      1.1 Carrés latins diagonaux

      1.2 Carrés latins pandiagonaux

      1.3 Carrés latins antidiagonaux

      1.4 Carrés latins symétriques

      1.5 Carrés latins normalisés

      1.6 Carrés latins orthogonaux

      1.7 Carrés latins réguliers

2.0 Formation de carrés magiques

3.0 Autres classes de carrés latins

Conclusion

 

Analyse et extension du problème
Le problème revient à trouver le nombre de carrés latins qui peuvent être formés lorsque la première rangée horizontale ne change pas et que les chevaux sont toujours dans le même ordre circulaire. Dans la configuration donnée, le cheval A occupe successivement les colonnes [1, 2, 3, 4, 5]. Dans les configurations suivantes, le cheval A pourra occuper les colonnes [1, 2, 3, 5, 4], [1, 2, 4, 3, 5], [1, 2, 4, 5, 3], [1, 2, 5, 3, 4] et [1, 2, 5, 4, 3]. D’où, il y a six configurations possibles lorsque les chevaux sont placés en ordre alphabétique, A étant dans la case supérieure gauche.

A

B

C

D

E

 

A

B

C

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E

 

A

B

C

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E

 

A

B

C

D

E

 

A

B

C

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E

E

A

B

C

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E

A

B

C

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E

A

B

C

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E

A

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C

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E

A

B

C

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E

A

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C

 

C

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E

A

B

 

C

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E

A

B

 

B

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E

A

 

B

C

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E

A

B

C

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E

A

 

D

E

A

B

C

 

B

C

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A

 

D

E

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C

 

C

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E

A

B

C

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A

B

 

B

C

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E

A

 

D

E

A

B

C

 

C

D

E

A

B

 

D

E

A

B

C

Outre la première ligne, on compte quatre permutations. Aussi, on fait : 6 ´ 4 = 24. Il y a 24 configurations possibles. Comme chaque carré latin prend cinq mois à se réaliser, Magnus pourra conserver son poste pendant 10 ans.

On peut modifier la règle 1 en faisant varier la disposition sur la première rangée horizontale. Par exemple, il existe 24 permutations quand la première lettre est A. Les voici :

A B C D E

A C B D E

A D B C E

A E B C D

A B C E D

A C B E D

A D B E C

A E B D C

A B D C E

A C D B E

A D C B E

A E C B D

A B D E C

A C D E B

A D C E B

A E C D B

A B E C D

A C E B D

A D E B C

A E D B C

A B E D C

A C E D B

A D E C B

A E D C B

Comme il y a cinq lettres, on fait 5 ´ 24 = 120. L’arrangement de ces cinq lettres se fait en 120 permutations. Dans la solution du problème, on a trouvé 24 carrés latins. Comme on a modifié la règle 1, on fait 120 ´ 24 = 2880. On aura donc 2880 carrés latins. Dans ce cas, Magnus pourrait conserver son poste pendant 1200 ans.

 

1.0 Carrés latins remarquables
Les seules exigences pour avoir un carré latin d’ordre n sont que les n éléments doivent être différents dans chaque rangée horizontale et verticale. L’intérêt de cette classe de carrés réside dans le fait qu’on peut enrichir ces règles de formation ou en ajouter de nouvelles.

1. Si chacune des deux diagonales est composée d’éléments différents, le carré est dit diagonal.

2. Si chaque diagonale contient un seul élément, le carré est dit antidiagonal.

3. Si les diagonales brisées, partagées en deux parties égales, d’un carré latin diagonal contiennent des éléments différents, ce carré est dit pandiagonal.

4. Si chaque paire d’éléments conjugués sur une diagonale est identique, le carré est dit symétrique.

5. Si les éléments de la première ligne et de la première colonne sont en ordre naturel, le carré est dit normalisé.

6. Si on peut superposer deux carrés latins pour donner un carré gréco-latin, ces carrés sont dits orthogonaux ; si les deux carrés ne donnent pas un carré gréco-latin, ils sont dits inextensibles.

7. Si deux carrés latins ou plus sont formés selon une même règle, ils sont dits réguliers.

1.1 Carrés latins diagonaux
Les carrés latins sont diagonaux quand les éléments sont différents sur chacune des deux diagonales. Ces carrés peuvent être associés aux carrés magiques car, comme pour ceux-ci, leurs propriétés s’appliquent autant aux rangées horizontales, verticales et diagonales. Les deux carrés latins diagonaux suivants sont aussi magiques.

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3


Carrés latins diagonaux d’ordre 3
Il existe 12 carrés latins d’ordre 3 mais aucun n’est diagonal. Dans chacun des trois carrés suivants, une diagonale reçoit le triplet (1, 2, 3), mais le triplet de l’autre est formé successivement de 1, de 2 et de 3 :

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3

 

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3

 

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3



Carrés latins diagonaux d’ordre 4

Il existe six carrés latins diagonaux d'ordre 4. Les voici :

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3

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Chacun des quatre carrés 2 ´ 2 des coins et le carré 2 ´ 2 du centre sont formés de quadruplets (1, 2, 3, 4).


Carrés latins diagonaux d’ordre 5
Voici comment on peut produire des carrés latins diagonaux d’ordre 5 :

s De préférence, on complète deux grilles à la fois (A1 et A2) qu’on appelle jumelles.

s On choisit un quintuplet qu’on écrit sur la première ligne des deux grilles. Par exemple, (1, 2, 3, 4, 5).

s Dans chacune des deux grilles, on place le chiffre du milieu du quintuplet (3) dans un coin inférieur et l’un des deux chiffres restants, par exemple 4, dans l’autre coin.

s On place au centre de la grille le chiffre qui n’apparaît pas dans les coins, soit 2.

s On identifie les deux cases de la deuxième ligne qui peuvent recevoir le médian de la grille, soit 2. On écrit ce chiffre dans chacune des deux grilles dans une des positions trouvées. On place les 2 en zigzags symétriques comme il est illustré.

s On complète une diagonale dans les deux grilles B1 et B2.

s On recherche une ou des cases qu’on peut compléter sans faire d’hypothèses.

s On complète une grille.

s On peut compléter l’autre grille en s’appuyant sur l’une ou l’autre des propriétés suivantes :

- Dans les deux grilles jumelles, le quintuplet de la cinquième ligne est le même.

- Dans les deux grilles jumelles, le quintuplet de la troisième colonne est le même.

- La croix du centre de toute grille (C) contient tous les chiffres différents, de même que le X de toute grille (D).

Voici les huit carrés latins quand la première ligne est formée de 1, 2, 3, 4, 5 dans cet ordre :

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  B   C   D

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E   F   G   H

Les grilles (A, B), (C, D), (E, F), (G, H) sont jumelles. Elles ont dans le même ordre leurs éléments sur la cinquième ligne et dans la troisième colonne. Comme il y a 120 quintuplets possibles avec les chiffres de 1 à 5, cela donne 960 carrés latins diagonaux. À partir d’un carré latin diagonal tel A, on peut obtenir trois autres carrés latins diagonaux par rotation (B, C et D) et quatre autres par symétrie orthogonale (E, F, G, H).

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A   B   C   D

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E   F   G   H

En E, l’axe de symétrie est la troisième ligne ; en F, c’est la deuxième colonne ; en G c’est la première diagonale ; en H, c’est la diagonale de droite, toujours par rapport à A. Ces huit carrés sont dits équivalents. Il existe donc 120 carrés latins diagonaux différents d’ordre 5.


Carrés latins diagonaux d’ordre 6
Dans les trois carrés latins diagonaux d’ordre 6 ci-après, les éléments 1, 2 et 3 sont dans les mêmes positions.

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Carrés latins diagonaux d’ordre 7
Dans les deux carrés latins diagonaux d’ordre 7 ci-après, chaque ligne est formée par la suite des entiers de 1 à 7 en ordre croissant et circulaire. La première ligne ne change pas. Les autres lignes proviennent de la symétrie orthogonale par rapport à la droite qui sépare les lignes 4 et 5.

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1.2 Carrés latins pandiagonaux
Dans les carrés latins diagonaux, les éléments sont différents autant orthogonalement que dans les deux diagonales. Les carrés pandiagonaux ont une propriété additionnelle. Chaque diagonale brisée contient des éléments différents. Il n'existe pas de carré latin pandiagonal d'ordre inférieur à 5. Dans des carrés d’ordre 5, on compte quatre diagonales brisées (1 case, 4 cases) et quatre diagonales brisées (2 cases, 3 cases). Une diagonale brisée est illustrée dans chacun de ces quatre carrés latins pandiagonaux d’ordre 5.

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Chaque ligne est composée du quintuplet (1, 2, 3, 4, 5) dans l’ordre cyclique. On utilise cinq permutations par ligne et cinq autres permutations par colonne.

h On peut former des carrés latins pandiagonaux en procédant ainsi :

1. On choisit un quintuplet qu’on écrit dans l’ordre sur la première ligne.

2. Pour la deuxième ligne, on commence l’écriture du quintuplet à la troisième case en respectant l’ordre cyclique.

3. Pour chaque autre ligne, on commence l’écriture du quintuplet successivement à la cinquième, deuxième et quatrième case.

Voici deux carrés formés ainsi :

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On peut aussi procéder en considérant les diagonales brisées

1. On choisit un quintuplet qu’on écrit dans l’ordre sur une diagonale brisée ou sur la diagonale principale.

2. On écrit quatre autres fois le même quintuplet en ordre cyclique sur les diagonales (brisées ou principales) parallèles aux premières.

Le quintuplet (2, 3, 4, 5, 1) est choisi pour le premier carré et (1, 2, 5, 3, 4) pour le second carré.

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Carrés latins antidiagonaux
Les carrés latins diagonaux ont des éléments différents dans chacune des deux diagonales. Les diagonales des carrés latins antidiagonaux sont composées d’éléments identiques. Seuls les carrés latins d’ordre pair peuvent être antidiagonaux car leurs diagonales n’ont pas d’éléments communs. En choisissant une paire de nombres pour les diagonales d’un carré d’ordre 4, on peut former trois carrés antidiagonaux différents. Voici les trois carrés antidiagonaux quand les diagonales reçoivent respectivement quatre 1 et quatre 2 :

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On peut choisir cinq autres paires : (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) et (3, 4). Il existe donc 18 carrés latins antidiagonaux d'ordre 4.

Les deux carrés antidiagonaux d’ordre 6  suivants reçoivent sur leurs diagonales la paire (1, 2) pour le premier et la paire (1, 6) pour le second. Le dernier carré est normalisé.

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2

3

5

1

6

 

5

6

2

3

1

4

2

3

4

6

5

1

 

6

3

5

2

4

1

Un carré latin antidiagonal peut avoir des propriétés additionnelles. Voici deux exemples :

1. Chacune des deux diagonales brisées, partagées en deux parties égales, a des éléments identiques.

3

1

2

4

 

4

1

3

2

 

2

1

4

3

1

3

4

2

 

1

4

2

3

 

1

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3

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3

1

 

3

2

4

1

 

4

3

2

1

4

2

1

3

 

2

3

1

4

 

3

4

1

2

Les diagonales sont formées successivement des paires (1, 2), (1, 3) et (1, 4).

2. Chacune des deux diagonales brisées, partagées en deux parties égales, est constituée des mêmes éléments mais différents.

3

1

2

4

 

2

1

3

4

 

3

1

4

2

2

3

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1

 

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2

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1

 

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1

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3

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1

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2

3

 

1

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3

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4

2

1

3

 

4

3

1

2

 

2

4

1

3

Les diagonales sont formées successivement des paires (1, 2), (1, 3) et (1, 4). Un carré latin antidiagonal n’est généralement pas un carré magique.

 

1.4 Carrés latins symétriques
Toute paire d’éléments situés à égale distance du centre ou d'un axe central d'une grille carrée est appelée conjuguée ou symétrique. Un carré latin est dit symétrique lorsque, dans chaque diagonale, les paires d’éléments conjugués sont formés d’éléments identiques. Trois cas peuvent se présenter.

1. Chaque diagonale a deux paires d’éléments. Dans le premier carré, chaque diagonale contient une paire 1 et une paire 3.

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

2

3

1

4

 

3

4

2

1

 

4

3

1

2

 

2

1

3

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4

1

3

2

 

4

3

1

2

 

2

1

3

4

 

3

4

2

1

3

4

2

1

 

2

1

3

4

 

3

4

2

1

 

4

3

1

2


2. Une diagonale a deux paires d’éléments ; les quatre éléments de l’autre sont identiques. Dans le premier carré, la première diagonale contient quatre 1 ; la seconde diagonale contient une paire 3 et une paire 4.

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

2

1

3

4

 

2

1

3

4

 

2

4

3

1

 

3

1

2

4

3

4

1

2

 

4

3

2

1

 

4

3

1

2

 

4

3

1

2

4

3

2

1

 

3

4

1

2

 

3

1

2

4

 

2

4

3

1


3. Chacune des deux diagonales a des éléments identiques. Dans le premier carré, la première diagonale contient quatre 1 ; la seconde diagonale contient quatre 3.

1

2

4

3

 

1

2

4

3

2

1

3

4

 

4

1

3

2

4

3

1

2

 

2

3

1

4

3

4

2

1

 

3

4

2

1

Ces deux derniers carrés sont antidiagonaux.



1.5
Carrés latins normalisés
Un carré latin est normalisé si la première ligne et la première colonne contiennent n lettres ou n entiers dans l'ordre naturel : A, B, C, ... , 1, 2, 3, ... Un carré latin normalisé ne peut pas être diagonal. Voici les quatre carrés latins normalisés d'ordre 4 :

1

2

3

4

 

1

2

3

4

 

1

2

3

4

 

1

2

3

4

2

1

4

3

 

2

1

4

3

 

2

3

4

1

 

2

4

1

3

3

4

1

2

 

3

4

2

1

 

3

4

1

2

 

3

1

4

2

4

3

2

1

 

4

3

1

2

 

4

1

2

3

 

4

3

2

1

Les deux premiers carrés sont antidiagonaux. Il existe 56 carrés latins normalisés d’ordre 5. En voici trois :

1

2

3

4

5

 

1

2

3

4

5

 

1

2

3

4

5

2

3

4

5

1

 

2

3

5

1

4

 

2

1

4

5

3

3

4

5

1

2

 

3

4

2

5

1

 

3

5

1

2

4

4

5

1

2

3

 

4

5

1

2

3

 

4

3

5

1

2

5

1

2

3

4

 

5

1

4

3

2

 

5

4

2

3

1

Il existe 9408 carrés latins normalisés d’ordre 6. En voici trois :

1

2

3

4

5

6

 

1

2

3

4

5

6

 

1

2

3

4

5

6

2

1

4

5

6

3

 

2

3

6

1

4

5

 

2

3

4

5

6

1

3

6

1

2

4

5

 

3

6

5

2

1

4

 

3

4

5

6

1

2

4

5

6

1

3

2

 

4

1

2

5

6

3

 

4

5

6

1

2

3

5

3

2

6

1

4

 

5

4

1

6

3

2

 

5

6

1

2

3

4

6

4

5

3

2

1

 

6

5

4

3

2

1

 

6

1

2

3

4

5

Il existe 16 942 080 carrés latins normalisés d’ordre 7. En voici deux :

1

2

3

4

5

6

7

 

1

2

3

4

5

6

7

2

1

7

3

4

5

6

 

2

3

4

5

6

7

1

3

6

1

2

7

4

5

 

3

4

5

6

7

1

2

4

7

5

1

6

2

3

 

4

5

6

7

1

2

3

5

3

4

6

1

7

2

 

5

6

7

1

2

3

4

6

5

2

7

3

1

4

 

6

7

1

2

3

4

5

7

4

6

5

2

3

1

 

7

1

2

3

4

5

6

Connaissant le nombre de carrés latins normalisés d’un ordre donné, on peut déterminer le nombre de carrés latins de cet ordre en appliquant la formule suivante. Soit q le nombre de carrés latins normalisés d’ordre n, le nombre total de carrés latins est : q × n! × (n - 1)!. Par exemple, comme il y a 56 carrés latins normalisés d’ordre 5, on compte 56 × 5! × 4! = 161 280 carrés latins d’ordre 5.

 

1.6 Carrés latins orthogonaux
Un carré latin d'ordre n est orthogonal à un autre de même ordre si la superposition des éléments correspondants donne un arrangement carré des n2 paires ordonnées qui apparaissent une seule fois. En d’autres mots, deux carrés latins sont orthogonaux quand leur superposition produit un carré gréco-latin.

1. Il existe 36 paires de carrés latins orthogonaux d’ordre 3. En voici une paire :

A

B

C

 

A

C

B

 

AA

BC

CB

B

C

A

 

B

A

C

 

BB

CA

AC

C

A

B

 

C

B

A

 

CC

AB

BA

Le carré de droite est un carré gréco-latin.

2. Il existe 3456 paires de carrés latins orthogonaux d’ordre 4. En voici une paire :

B

A

D

C

G

H

E

F

BG

AH

DE

CF

D

C

B

A

F

E

H

G

DF

CE

BH

AG

C

D

A

B

H

G

F

E

CH

DG

AF

BE

A

B

C

D

E

F

G

H

AE

BF

CG

DH

Le carré de droite est un carré gréco-latin. Il n'existe pas de paires de carrés latins orthogonaux d’ordre 6.


1.7 Carrés latins réguliers
Des carrés latins sont dits réguliers lorsqu’ils appartiennent à un ensemble formé selon une même règle. Voici quatre classes de carrés latins réguliers :

1. Il existe 12 carrés latins réguliers d'ordre 4 dans lesquels les éléments sont dans le même ordre cyclique sur chaque ligne. En voici quatre où, sur chaque ligne, l’on trouve 1, 2, 3 et 4 dans l'ordre cyclique :

1

2

3

4

 

4

1

2

3

 

3

4

1

2

 

2

3

4

1

4

1

2

3

 

1

2

3

4

 

4

1

2

3

 

4

1

2

3

3

4

1

2

 

3

4

1

2

 

1

2

3

4

 

3

4

1

2

2

3

4

1

 

2

3

4

1

 

2

3

4

1

 

1

2

3

4


2. Les six carrés latins suivants reçoivent les quatre éléments différents dans chacun des quatre carrés 2
´ 2 des coins et dans le carré 2 ´ 2 central.

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

3

4

1

2

 

4

3

2

1

 

3

4

2

1

 

4

3

1

2

 

3

4

2

1

 

3

4

2

1

4

3

2

1

 

3

4

1

2

 

4

3

1

2

 

3

4

2

1

 

2

3

1

4

 

4

1

3

2

2

1

3

4

 

2

1

3

4

 

2

1

3

4

 

2

1

3

4

 

4

1

3

2

 

2

3

1

4


3. Dans les quatre carrés latins ci-dessous, la première ligne et la première colonne sont respectivement identiques d'un carré à l'autre.

1

2

3

4

 

1

2

3

4

 

1

2

3

4

 

1

2

3

4

2

1

4

3

 

2

1

4

3

 

2

4

1

3

 

2

3

4

1

4

3

1

2

 

4

3

2

1

 

4

3

2

1

 

4

1

2

3

3

4

2

1

 

3

4

1

2

 

3

1

4

2

 

3

4

1

2


4. Les deux carrés latins suivants d’ordre 6 sont composés de six rectangles, chacun contenant les nombres de 1 à 6.

1

2

3

4

5

6

 

1

2

3

4

5

6

6

5

4

3

2

1

 

4

5

6

1

2

3

2

3

1

5

6

4

 

3

1

2

6

4

5

5

4

6

2

1

3

 

6

4

5

3

1

2

3

1

2

6

4

5

 

2

3

1

5

6

4

4

6

5

1

3

2

 

5

6

4

2

3

1

Le sudoku appartient à cette classe.



2.0
Formation de carrés magiques
Philippe de La Hire (1640-1718) a montré comment on peut former des carrés magiques normaux en additionnant les éléments correspondants de deux carrés latins. Voici trois exemples :

1. On forme deux carrés latins, de préférence diagonaux, le premier avec les nombres de 1 à 4, le deuxième avec les nombres 0, 4, 8 et 12. On fait la somme des éléments correspondants, ce qui donne un carré magique normal.

2

3

4

1

 

 

+

 

 

4

8

0

12

 

 

=

 

 

6

11

4

13

1

4

3

2

0

12

4

8

1

16

7

10

3

2

1

4

12

0

8

4

15

2

9

8

4

1

2

3

8

4

12

0

12

5

14

3


2. Chaque ligne du premier carré est formée des entiers de 1 à 5 dans l’ordre naturel, le 1 étant décalé de deux cases d’une ligne à l’autre comme pour le saut du cavalier. Chaque ligne du deuxième carré est formée de 0, 5, 20, 10, 15 dans cet ordre, le 0 étant décalé de trois cases d’une ligne à l’autre. On fait la somme des éléments correspondants, ce qui donne un carré magique normal.

1

2

3

4

5

 

 

+

 

 

0

5

20

10

15

 

 

=

 

 

1

7

23

14

20

4

5

1

2

3

20

10

15

0

5

24

15

16

2

8

2

3

4

5

1

15

0

5

20

10

17

3

9

25

11

5

1

2

3

4

5

20

10

15

0

10

21

12

18

4

3

4

5

1

2

10

15

0

5

20

13

19

5

6

22


3. Bernard Violle en 1837 a appliqué ce procédé aux carrés d’ordre 7. Voici ce qu’il a produit :

3

7

2

5

6

1

4

+

 

14

42

0

21

7

28

35

=

 

17

49

2

26

13

29

39

6

1

4

3

7

2

5

0

21

7

28

35

14

42

6

22

11

31

42

16

47

7

2

5

6

1

4

3

7

28

35

14

42

0

21

14

30

40

20

43

4

24

1

4

3

7

2

5

6

35

14

42

0

21

7

28

36

18

45

7

23

12

34

2

5

6

1

4

3

7

42

0

21

7

28

35

14

44

5

27

8

32

38

21

4

3

7

2

5

6

1

21

7

28

35

14

42

0

25

10

35

37

19

48

1

5

6

1

4

3

7

2

28

35

14

42

0

21

7

33

41

15

46

3

28

9




3.0 Autres classes de carrés latins
On peut définir d’autres classes de carrés latins. En voici cinq :


1. Ceux dont les permutations sont identiques horizontalement et verticalement. Ces quatre carrés d’ordre 4 reçoivent le quadruplet (1, 2, 4, 3) dans la première rangée horizontale et dans la première rangée verticale.

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

2

1

3

4

 

2

1

3

4

 

2

3

1

4

 

2

4

3

1

4

3

2

1

 

4

3

1

2

 

4

1

3

2

 

4

3

1

2

3

4

1

2

 

3

4

2

1

 

3

4

2

1

 

3

1

2

4

On compte 96 carrés latins d’ordre 4 de cette classe.


2. Ceux dont les éléments conjugués sont complémentaires sur chaque ligne et dans chaque colonne. La somme des éléments conjugués est 5 : (1, 4) et (2, 3).

1

2

3

4

1

2

3

4

1

3

2

4

1

3

2

4

3

4

1

2

2

4

1

3

3

4

1

2

2

4

1

3

2

1

4

3

3

1

4

2

2

1

4

3

3

1

4

2

4

3

2

1

4

3

2

1

4

2

3

1

4

2

3

1

On compte 48 carrés latins d’ordre 4 de cette classe.


3. Ceux dont les permutations sont circulaires autant pour les lignes que pour les colonnes comme si le carré était un cylindre. Dans le premier carré, on a 1, 2, 3, 4 ; dans le second, on a 1, 2, 4, 3.

1

2

3

4

 

1

2

4

3

2

3

4

1

 

2

4

3

1

3

4

1

2

 

4

3

1

2

4

1

2

3

 

3

1

2

4

On compte 24 carrés latins de cette classe.


4. Ceux qui peuvent être partagés en compartiments tels que les nombres de 1 à n apparaissent dans chacun d’eux. Voici six carrés d’ordre 4 partagés chacun en quatre compartiments :

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

 

1

2

4

3

3

4

1

2

 

4

3

2

1

 

3

4

1

2

 

4

3

2

1

 

3

4

2

1

 

4

3

1

2

2

1

3

4

 

2

1

3

4

 

4

3

2

1

 

3

4

1

2

 

2

1

3

4

 

2

1

3

4

4

3

2

1

 

3

4

1

2

 

2

1

3

4

 

2

1

3

4

 

4

3

1

2

 

3

4

2

1

Le graphe de chaque compartiment est donné de 1 à 4.

On compte 288 carrés latins d’ordre 4 de cette classe.


5. Ceux qui peuvent être partagés en compartiments tels que les nombres de 1 à n apparaissent dans chacun d’eux et en plus dans le carré 2
´ 2 du centre. Voici six carrés d’ordre 4 partagés chacun en quatre compartiments :

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

3

4

1

2

4

3

2

1

3

4

2

1

3

4

2

1

4

3

1

2

3

4

2

1

4

3

2

1

3

4

1

2

2

1

3

4

4

3

1

2

3

4

2

1

2

3

1

4

2

1

3

4

2

1

3

4

4

3

1

2

2

1

3

4

2

1

3

4

4

1

3

2

Le graphe de chaque compartiment est donné de 1 à 4.

On compte 288 carrés latins d’ordre 4 de cette classe.

Conclusion
Dans son troisième mémoire intitulé Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques, et publié en 1782 dans les Comptes rendus de la Société des Sciences de Flessingue, Euler introduit son sujet ainsi : "Une question fort curieuse, qui a exercé pendant quelque temps la sagacité de bien du monde, m’a engagé à faire les recherches suivantes, qui semblent avoir une nouvelle carrière dans l'analyse, et en particulier dans la doctrine des combinaisons. Cette question roulait sur une assemblée de trente-six officiers de six différents grades et tirés de six régiments différents qu'il s'agissait de ranger dans un carré, de manière que sur chaque ligne, tant horizontale que verticale, il se trouvât six officiers tant de différents caractères que de régiments différents. Or, après toutes les peines qu'on s'est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnaître qu'un tel arrangement est absolument impossible, quoiqu'on ne puisse pas en donner de démonstration rigoureuse."

En langage mathématique, le problème des officiers consiste à se demander s’il existe un carré gréco-latin d’ordre 6. Ce problème a ouvert la porte à des recherches sur la formation de carrés magiques, mais aussi de carrés latins. ç