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Vers la fin de 9e
siècle, Constantin Céphalas compila de courts textes provenant de centaines d’auteurs
grecs anciens. Ces écrits forment l’Anthologie grecque. Le manuscrit
fut découvert en 1606 et fut publié à la fin du 18e siècle pour
la première fois. Il comprend des épigrammes, des inscriptions funéraires,
des oracles, des réflexions philosophiques, des problèmes ou des leçons
pratiques.
En 1863, Félix-Désiré
Dehèque (1794-1870) publia une version française annotée aux éditions
Hachette en se basant sur les travaux de Friedrich Jacobs (1764-1847). Dans le
tome 2, on y trouve 48 récréations mathématiques.
Nous avons regroupé ces
problèmes en un recueil afin de permettre aux amateurs de mathématiques
récréatives d’entrer en contact avec ces écrits anciens sans autre
recherche.
Dans cet article, nous
présentons le texte de ces problèmes. Dans l’Anthologie, les réponses sont
données, sauf dans trois cas. Nous avons élaboré, pour chaque problème, une
solution détaillée en appliquant les connaissances actuelles. Par exemple, les
réponses sont données en notation décimale au lieu de l’être en fractions
ordinaires. De plus, quelques corrections ou aménagements sont proposés.
Les auteurs des 48
problèmes de ce recueil se répartissent ainsi : un est dû à Cléobule
de Lindos (6e s. av. J.-C.), un à Socrate (4e s. av.
J.-C.), un à Diophante d’Alexandrie (4e s.), 32 à Métrodore (5e
s.) et 13 à des auteurs anonymes.
Nous avons classé les
récréations en sept catégories :
Dans l’Anthologie, la
majorité des problèmes ne comportent pas d’interrogation. Pour plus de
clarté, nous avons ajouté les questions que nous croyons pertinentes en
fonction de la réponse qui a été donnée. Nous avons marqué ces questions d’un
astérisque. Pour chaque problème, nous avons indiqué l’auteur, le numéro
du problème et la page de l’Anthologie. On peut consulter le texte original dans le livre numérisé par Google.
I. Déplacements
Récréation 1
- De Gadires à la ville aux sept collines, le sixième de la route
est aux rives du Bætis où bêlent d'innombrables brebis. Le cinquième
se trouve à la colonie phocéenne de Pylade, à Tauré, ainsi nommée
des beaux troupeaux de bœufs de ses
herbages. Quand de là sont atteintes les cimes élevées de Pyrène, on
a fait un huitième du voyage. La traversée de ces montagnes en est le
douzième du dixième. Entre Pyrène et les hautes Alpes, la distance
est du quart de la route. L'Ausonie commence, et soudain l'ambre de
l'Éridan se montre, et l'on a fait un douzième de plus. Heureux
voyageur, j'ai achevé les deux mille cinq cents stades qui me
séparaient encore de la roche Tarpéienne, car Rome, la puissante Rome
était le but désiré de mon voyage.
*Quelle est la distance
entre Gadires et Rome ?
(Métrodore, no 121, p. 60)
Solution 1. On fait : 1/6 + 1/5 + 1/8 + 1/120 +
1/4 + 1/12 = 5/6. Il reste 1/6 qui correspond à 2500 stades. On
fait : 6 ´ 2500 = 15 000.
La distance entre Gadires et Rome est de 15 000
stades.
Récréation
2
- Un passager qui naviguait sur le large détroit de la mer Ionienne,
dit au pilote :
-
Combien reste-t-il encore de stades pour arriver ?
Le
pilote lui répondit :
-
Entre le cap crétois du Bélier et le promontoire de Pélore, il
y a six mille stades. Or, il reste encore à faire pour atteindre la
Sicile le double des deux cinquièmes de la route déjà
parcourue.
*Dans combien de
stades, le voyage se terminera-t-il ?
(Métrodore, 129, 62)
Solution 2. Le double de 2/5 est 4/5. Les 4/5 de 6000
sont 4800.
Explication de l'énigme par Oedipe. - Écoute,
dussé-je te déplaire, sinistre Muse des morts, l'explication qui va
mettre un terme à tes rigueurs. Tu as désigné l'homme: il rampe sur
la terre lorsqu'il vient de naître, et tout petit ; comme à quatre
pattes, il se traîne sur ses pieds, sur ses mains. Devenu vieux et
courbé par l'âge, il s'appuie sur un bâton qui lui sert de troisième
pied.
II. Énigmes
Récréation 3
- Il y a sur terre un être à deux, à trois, à quatre pieds, et qui n'a
qu'une voix. Il change de nature, seul entre tout ce qui se meut ici-bas , ou
rampe, ou traverse l'air et la mer. Mais lorsqu'en marchant il s'appuie sur plus
de pieds, la célérité de ses membres diminue : sa marche en est ralentie.
*Quel est cet être ?
(Anonyme, 64, 50)
Solution 3. L’HOMME.
Explication de l'énigme par Oedipe. - Écoute, dussé-je te déplaire,
sinistre Muse des morts, l'explication qui va mettre un terme à tes rigueurs.
Tu as désigné l'homme: il rampe sur la terre lorsqu'il vient de naître, et
tout petit ; comme à quatre pattes, il se traîne sur ses pieds, sur ses
mains. Devenu vieux et courbé par l'âge, il s'appuie sur un bâton qui lui
sert de troisième pied.
Récréation 4
Il est
un père qui a douze enfants ; chacun d'eux a soixante filles d'aspect
très différent, les unes blanches, les autres noires. Toutes sont
immortelles et meurent.
*Qui sont le père, les
enfants et les filles ?
(Cléobule, 101, 56)
Solution
4. Le père est l'année, les enfants sont les mois, les filles blanches
sont les jours et les noires sont les nuits.
III. Héritage
Récréation 5
- Les mille
statères que j'ai acquis, je veux que mes deux fils en héritent, dans
cette proportion : [que le cinquième de la part de mon fils légitime
surpasse de 10 le quart de la part de son frère bâtard].
*Quelle sera la part de
chacun ?
(Anonyme, 11, 43)
Note. Le texte entre
crochets remplace celui-ci : "pour mon fils légitime, que sa
part, le cinquième de ma succession, surpasse de dix la part de son
frère bâtard qui en est le quart."
Solution 5. En soustrayant le cinquième de la part
du fils légitime et le quart de la part de son frère, on obtient 10.
Soit P la part du fils légitime, celle de l’autre sera (1000 - P). Le
1/5 de P moins le 1/4 de (1000 - P) est égal à 10. D’où, P = 577,8.
Récréation 6
- Prends, mon fils, le cinquième de mon
héritage, et toi, mon épouse, reçois-en le douzième ; que les quatre enfants
de mon fils défunt, que mes deux frères, que ma mère éplorée en recueillent
chacun le onzième. Vous, mes neveux, recevez douze talents ; qu'Eubule, mon
ami, en prenne cinq. À mes fidèles serviteurs, pour récompense de leurs bons
services, je donne la liberté et une gratification ; qu'ils reçoivent donc :
Onésime, vingt-cinq mines ; Dave, vingt mines ; Syrus, cinquante ; Synété,
dix ; Tibius, huit. Je laisse sept mines à Synétus, fils de Syrus. Qu'avec
trente talents on m'élève un tombeau, et qu'il soit offert un sacrifice au
Jupiter des morts. Deux talents serviront aux frais du bûcher, des mets
funèbres et des bandelettes. Que mon corps jouisse des vaines faveurs de deux
autres talents.
*Combien vaut l’héritage de cet homme sachant qu’un
talent équivaut à 60 mines ?
(Métrodore, 123, 60)
Solution 6. Le plus petit nombre divisible par 5, 12 et 11
est 660. On vérifie si ce nombre convient. C’est le cas. La part du fils, de
l’épouse, des enfants, de ses frères et de ses soeurs est de 607 talents. La
part des neveux et d’Eubule est de 17 talents. La part des serviteurs est de
120 mines ou de 2 talents. Les frais reliés aux funérailles sont de 34
talents. Le total est bien de 660 talents.
L’héritage de cet homme est de 660 talents.
Récréation 7
- Combien mon frère m'a fait de tort dans le
partage inique des cinq talents de l'héritage paternel ! Je n'ai reçu, et j'en
pleure, que le cinquième des sept onzièmes de la part de mon frère. O
Jupiter, tu dors d'un profond sommeil.
*Quelle est la part de chacun ?
(Métrodore, 128, 62)
Solution 7. Le 1/5 de 7/11 est 7/55. Les 7/55 de 5 sont 7/11.
Le locuteur a reçu 7/11 de talent. Son frère a reçu (5 - 7/11), soit 4 4/11.
Le locuteur a reçu 0,64 talent et son frère 4,36 talents.
Récréation 8
- Surtius, mon père, a péri sur des
écueils. De ce voyage, mon frère aîné a rapporté cinq talents. Il m'a remis
le double de deux tiers de sa part, et à notre mère, il a donné les deux
huitièmes de nos parts communes : il n'a pas failli à la justice des dieux.
*Combien chacun a-t-il reçu de talents ?
(Métrodore, 143, 65)
Solution 8. Soit P la part de l’aîné, celle du frère est
de 4P/3, celle de la mère est de 7P/12. La somme est 35P/12 qui est égale à
5. D’où, P = 1,7.
L’aîné a reçu 1,7 talent, son frère 2,3 talents et la
mère 1 talent .
IV. Partage
Récréation 9
Polycrate, tyran de
Samos, demande à Pythagore le nombre de ses élèves.
- Fortuné Pythagore,
rejeton héliconien des Muses, dis-moi combien dans ton école, tu as
d'athlètes que tu dresses aux glorieux exercices de la philosophie.
- Je vais te le dire,
Polycrate : la moitié étudie les belles sciences mathématiques ; l'éternelle
nature est l'objet des travaux d'un quart ; un septième s'exerce au silence et
à la méditation ; il y a de plus trois femmes dont Théano est la plus
distinguée. Voilà le nombre de mes disciples [qui sont aussi ceux des Muses].
*Combien Pythagore avait-il de disciples ?
(Socrate, 1, 41)
Note. Nous avons placé des crochets dans la dernière partie
du problème car, dans la mythologie grecque, les Muses sont au nombre de 9.
Solution 9. Le plus petit nombre divisible par 2, 4 et 7 est
28. On vérifie si 28 convient. C’est le cas.
Pythagore avait 28 disciples.
Récréation 10
Cypris dit à l'Amour qui avait l'air chagrin :
- Quel est, mon fils,
le sujet de ta peine ?
- Les Muses m'ont à
l'envi pillé les pommes que j'avais cueillies sur l'Hélicon. Clio m'en a pris
le cinquième ; Euterpe, le douzième ; la divine Thalie, le huitième ;
Melpomène le vingtième ; Terpsichore, le quart ; Érato, le septième ;
Polymnie, m'en a volé trente ; Uranie, cent vingt ; Calliope s’en est
chargée de trois cents ; et moi, je viens vers toi, les mains presque vides,
emportant ce qu'ont laissé les déesses, cinquante pommes.
*Combien le fils avait-il de pommes ?
(Anonyme, 3, 41)
Solution 10. Le plus petit nombre divisible par 5, 12, 8, 20,
4 et 7 est 840. On vérifie successivement avec 840, 1680 (840 ´
2), 2520 (840 ´ 3) et 3360 (840 ´
4). Seul le dernier nombre convient.
Le fils avait 3360 pommes.
Récréation 11
Le puissant Alcide demandait à Augias le nombre de ses boeufs.
Le roi lui répondit :
- Sur les bords de
l'Alphée, il y en a la moitié ; le huitième de mon troupeau est à paître
sur la colline de Saturne ; le douzième est près de la borne de Taraxippe ; le
vingtième pâture aux environs de la divine Élis. J'en ai laissé le
trentième dans les herbages d'Arcadie ; tu verras ici le reste du troupeau,
cinquante bœufs.
*Combien Augias avait-il de bœufs ?
(Anonyme, 4, 41)
Solution 11. Le plus petit nombre divisible par 2, 8, 12, 20
et 30 est 120. On vérifie avec ce nombre. Il ne convient pas. On vérifie avec
240 (120 ´ 2). Ce nombre convient.
Augias avait 240 bœufs.
Récréation 12
- Après avoir souillé les bandelettes
sacrées de la Justice, pour te voir et t'avoir, or tout-puissant, je ne
possède plus rien ; car sous de tristes auspices, j'ai donné en pure perte
quatre dizaines de talents à des amis, et je vois, ô sort funeste, la moitié,
le tiers et le huitième de mon bien entre les mains de mon ennemi.
*Quel était le bien initial de cet homme ?
(Métrodore, 122, 60)
Solution 12. La somme de 1/2, 1/3 et 1/8 est égale à 23/24.
Il reste 1/24 qui correspond à 40 (quatre dizaines). On fait : 24 ´
40 = 960.
Le bien initial de cet homme était de 960 talents .
Récréation 13
Les Grâces portaient des paniers de pommes,
et dans chaque panier il y avait le même nombre de fruits. Les neuf Muses les
rencontrèrent, et leur demandèrent des pommes. Elles en donnèrent à chacune
une quantité égale, et les neuf Muses et les trois Grâces en eurent toutes
autant.
Dites combien elles en donnèrent, et comment elles en
avaient toutes un nombre égal.
(Anonyme, 48, 47)
Solution 13. Comme
chaque Grâce a distribué trois fois autant de pommes qu’elle en a gardées,
le nombre de pommes des Grâces est divisible par 4. Par exemple, si chaque
Grâce a 8 pommes, chaque Muse recevra 2 pommes. Il restera 2 pommes à chaque
Grâce. De façon générale, chaque Grâce a 4N pommes.
Chaque Grâce a donné 3N pommes. Chaque Muse en a reçu N.
Il en restait N à chaque Grâce.
Récréation 14
- O ma mère, pourquoi me bats-tu à cause
des noix ? De belles jeunes filles se les sont partagées toutes : Mélissium en
a pris les deux septièmes ; Titané, un douzième ; Astyoché, un sixième, et
la joueuse Philinna, un tiers. Thétis s'est emparée de vingt noix ; Thisbé,
de douze. Celle-ci, Glaucé, vois comme elle en rit, a onze noix dans ses mains.
Cette noix est la seule qui me reste.
*Combien le fils avait-il de noix ?
(Métrodore, 116, 59)
Solution 14. La somme de 2/7, 1/12, 1/6 et 1/3 est 73/84. Il
reste 11/84 pour les autres qui ont 44 noix. On fait : 44 ´
84/11 = 336.
Le fils avait 336 noix.
Récréation 15
- Mon fils, que sont devenues tes pommes ?
Ino en a deux sixièmes, et Sémélé un huitième. Autonoé en a enlevé le
quart. Agavé est partie, emportant des plis de ma tunique le cinquième. Pour
toi-même j'ai gardé dix pommes. Et moi, par ma chère Cypris, je n'ai plus que
cette pomme unique.
*Combien le père avait-il de pommes ?
(Métrodore, 117, 59)
Solution 15. Le plus petit nombre divisible par 3, 8, 4, 5
est 120. On vérifie si 120 convient. C’est le cas.
Le père avait 120 pommes.
Récréation 16
- Ayant cueilli des pommes, Myrto les
partagea entre ses amies : elle en donna le cinquième à Chrysis ; le quart à
Héro ; le dix-neuvième à Psamathé ; le dixième à Cléopatre ; le
vingtième à Parthénopée. Évadné ne reçut que douze pommes ; et pour
elle-même elle en garda cent vingt.
*Combien Myrto avait-elle de pommes ?
(Métrodore, 118, 59)
Solution 16. Le plus petit nombre divisible par 5, 4, 19, 10,
20 est 380. On vérifie si 380 convient. C’est le cas.
Myrto avait 380 pommes.
Récréation 17
- Ma fille Ino et mon fils Sémélé
distribuèrent un jour des pommes à douze jeunes filles, leurs amies, qu'elles
avaient rencontrées. À trois de ses compagnes, Ino fit don des trois
septièmes de ses pommes, et à deux autres le cinquième. Astynomé lui en
enleva onze, et la part d’Ino fut réduite à deux. Sémélé, de son côté,
offrit à quatre jeunes filles les deux quarts de ses pommes, à la cinquième
il en remit le sixième. La part d'Eurychore fut de quatre, et Sémélé resta
avec quatre pommes.
*Combien Ino et Sémélé avaient-ils de pommes
ensemble ?
(Métrodore, 119, 59)
Note. Le problème a été réaménagé en conservant les
données essentielles.
Solution 17. Ino : La somme de 3/7 et de 1/5 est 22/35.
Il reste 13/35 pour les autres qui ont 13 pommes. On fait : 13 ´
35/13 = 35. Ino a distribué 35 pommes. Sémélé : La somme de 2/4 et de
1/6 est 2/3. Il reste 1/3 pour les autres qui ont 8 pommes. On fait : 8 ´
3/1 = 24. Sémélé a distribué 24 pommes.
Ino et Sémélé avaient ensemble 59 pommes.
Récréation 18
-
Ce noyer était chargé d'une quantité de noix, et
maintenant on vient de le dépouiller. Comment ? il le dit lui-même.
Parthénopée a pris de mes noix le cinquième ; Philinna, le huitième ;
Aganippe, le quart ; Orithyie est toute joyeuse de sa part, un septième.
Eurynomé a ramassé le sixième de mes noix. Les trois Grâces s'en sont
partagé cent six. Les Muses en ont emporté neuf fois neuf. Tu vois les sept
qui me restent à l'extrémité de mes plus hautes branches.
*De combien de noix le noyer était-il chargé ?
(Métrodore, 120, 60)
Solution 18. Le plus petit nombre divisible par 5, 8, 4, 7, 6
est 840. On vérifie si 840 convient. Ce n’est pas le cas. On vérifie avec
1680 (840 ´ 2). Ce nombre convient.
Le noyer était chargé de 1680 noix.
Récréation 19
- Je suis un tombeau, et je renferme les
enfants bien pleurés de Philinna, ayant les fruits de son sein inutilement
fécond au nombre qui suit : Philinna m'a donné un cinquième en garçons, un
tiers en filles et trois jeunes épouses. Quatre autres qui n'ont pas vu le
soleil et qui n'ont pas poussé un cri, sont tombés de ses flancs dans
l'Achéron.
*Combien Philinna a-t-elle eu d’enfants ?
(Métrodore, 125, 61)
Solution 19. Le plus petit nombre divisible par 3 et 5 est
15. On vérifie si 15 convient. C’est le cas.
Philinna a eu 15 enfants.
Récréation 20
- Passants, pleurez sur nous : car nous
sommes les convives que la maison d'Antiochus a écrasés dans sa chute, et
auxquels Dieu a donné ce lieu de festin et de sépulture. Nous gisons ici,
quatre de Tégée, douze de Messène et d'Argos cinq. Sparte avait fourni en sus
la moitié des invités. Antiochus, notre hôte, a péri également et avec lui
des Athéniens au nombre du cinquième du cinquième. Corinthe, tu n'as à
pleurer que le seul Hylas.
*Combien de victimes sont ensevelies à cet endroit ?
(Métrodore, 137, 64)
Solution 20. Le nombre de victimes est 23, soit 4 (Tégée),
12 (Messène), 5 (Argos), 1 (Antiochus), 1 (Hylas). Or, 1/2 + 1 /25 = 27/50. Il
reste 23/50. On fait : 23 ´ 50/23 = 50.
On compte 50 victimes.
Récréation 21
- Nicarète, en jouant avec cinq de ses
compagnes, donna le tiers des noix qu'elle avait à Clito, à Sapho le quart, le
cinquième à Aristodice, à Théano le vingtième et en sus le douzième, le
vingt-quatrième à Philinnis ; et il restait encore à Nicarète cinquante
noix.
*Combien Nicarète avait-il de noix ?
(Métrodore, 138, 64)
Solution 21. La somme de 1/3, 1/4, 1/5, 1/20, 1/12, 1/24 est
23/24. Il reste 1/24 de noix, soit 50. On fait : 50 ´
24 = 1200.
Nicarète avait 1200 noix.
Récréation 22
Hésiode demanda à Homère de combien de Grecs se composait l'armée
d'expédition au siège de Troie ; Homère lui répondit :
- Il y avait sept
feux aux vives flammes, à chaque feu cinquante broches, et à ces broches
cinquante rôtis. Autour de [chaque feu] se trouvaient trois fois trois cents
Grecs.
*De combien de Grecs se composait l’armée au siège de
Troie ?
(Métrodore, 147, 65)
Note. Le texte qui a été remplacé est :
" ces viandes ".
Solution 22. Chaque broche contient un rôti. Il y a 7 feux,
chacun ayant 50 rôtis. Autour de chaque feu se trouvent 900 hommes. On fait 7 ´
50 ´ 900. Le résultat est 315 000.
L’armée se composait de 315 000 Grecs.
Récréation 23
Quelqu’un mélangea des conges de vin à
huit drachmes avec des conges de vin à cinq drachmes, ayant appris à faire
ainsi une bonne boisson à l’usage des serviteurs, et pour le tout il eut à
payer un nombre carré [dont le dernier chiffre est le même que sa racine soit
5. La somme des conges est aussi un nombre carré dont le dernier chiffre est le
même que sa racine soit 6]. Donc distingue les conges à huit drachmes, combien
ils étaient, et de nouveau, enfant, énonce les autres, ceux à cinq drachmes.
*Combien y a-t-il de conges en tout ? Quel est le coût
total ?
(Diophante, 19, 207)
Note. Le texte qui a été remplacé est :
" qui montre les unités mises en ordre et qui forme derechef un autre
carré sphérique possédant un côté ; et ce carré est la somme des
conges. "
Solution 23. Le coût des conges à 5 drachmes se termine par
5. Comme le coût total se termine par 5, le coût des conges à 8 drachmes se
termine par 0. Les carrés possibles qui se terminent par 5 sont 25, 225, 625,
etc. Le nombre 25 ne convient pas. On prend 225. Le nombre de conges à 8
drachmes est dans la suite 5, 10, 15, 20, ... Le nombre 15 convient. On a 15
conges à 8 drachmes pour un coût de 120, puis 21 conges à 5 drachmes pour un
coût de 105.
Il y a 36 conges dont le coût total est de 225 drachmes.
V. Poids
Récréation 24
- Je suis une Minerve
d'or massif. Le métal est un don de jeunes poètes ; Charisius en a fourni la
moitié ; Thespia, la huitième partie ; Solon, la dixième ; Thémison, la
vingtième. Les neuf autres talents et l'oeuvre même de ma statue, on les doit
à Aristonice.
*Combien pèse la statue ?
(Anonyme, 2, 41)
Solution 24. Le plus petit nombre divisible par 2, 8, 10 et
20 est 40. On vérifie si 40 convient. C’est bien le nombre cherché.
La statue pèse 40 talents.
Récréation 25
Le roi Crésus consacra six vases de six
mines [au total], chacun pesant une mine de plus que l'autre.
*Combien pèsent en drachmes le vase le plus léger et le
plus lourd, si une mine qui est une unité de poids vaut 100 drachmes ?
(Anonyme, 12, 43)
Solution 25. Le vase le plus léger pèse D drachmes. Les
autres pèsent (D + 1), (D + 2), (D + 3), (D + 4), (D + 5). La somme est 6D + 15
qui correspond à 600. D’où, D = 97,5.
Le vase le plus léger pèse 97,5 drachmes et le plus
lourd 102,5 drachmes.
Récréation 26
Sur
les trois statues de Zéthus, d'Amphion et de leur mère.
- Ensemble, nous
pesons vingt mines. Si tu prends de moi Zéthus le tiers et d'Amphion le quart,
tu trouveras six, et tu auras le poids de notre mère.
*Combien pèsent Zéthus et Amphion ?
(Anonyme, 3, 43)
Solution 26. Soit Z le poids de Zéthus ; celui d’Amphion
est de (20 - Z). La somme du tiers de Z et du quart de (20 - Z) est égale à 6.
D’où, Z = 12.
Zéthus pèse 12 mines et Amphion 8 mines.
Récréation 27
- Fais-moi une couronne d'or, de cuivre,
d'étain aussi et de fer, du poids de soixante mines. Que l'or avec le cuivre y
entre pour deux tiers, l'or et l'étain pour trois quarts, en même temps que
l'or et le fer pour trois cinquièmes.
Combien faut-il, dis-moi, que tu emploies d'or ? combien de
cuivre ? dis aussi combien d'étain, enfin combien de fer, pour me fabriquer
cette couronne de soixante mines.
(Anonyme, 49, 47)
Solution 27. Soit A pour l’or, C pour le cuivre, S pour l’étain
et F pour le fer, on peut écrire A + C + S + F = 60, A + C = 40, A + S = 45 et
A + F = 36. On résout ces quatre équations.
Il y a 30,5 mines d'or, 9,5 mines de cuivre, 14,5 mines
d'étain, 5,5 mines de fer.
Récréation 28
- Orfèvre, ajoute à l'unité, poids d'un
vase, le tiers, le quart et le douzième, mets le tout au feu, et du mélange
fais sortir un lingot : qu'il pèse une mine.
*Quel est le poids du vase sachant qu’une mine est une
unité de poids qui vaut 100 drachmes ?
(Anonyme, 50, 48)
Note. Dans l’Anthologie, la réponse n’est pas donnée.
Solution 28. On additionne 1, 1/3, 1/4, 1/12. Le résultat
est 5/3. Les 3/5 de 100 sont 60.
Le vase pèse 60 drachmes.
Récréation 29
A. -
J'ai ce qu'a le second et le tiers de la part du troisième.
B. - J'ai ce qu'a le
troisième et le tiers de ce qu'a le premier.
C. - Et moi, j'ai dix
mines et le tiers de la part du second.
*Combien de mines chacun des trois a-t-il si l’avoir total
est de 105 mines ?
(Anonyme, 51, 48)
Solution 29. L’avoir de A est (B + C/3) ; l’avoir de
B est (A/3 + C) ; l’avoir de C est (B/3 + 10). Le total est : A + B
+ C = 105. On résout les équations.
A possède 45 mines, B 37,5 mines et C 22,5 mines.
Récréation 30
- O femme, ainsi tu as échappé à la
pauvreté ; c'est qu'en nous harcelant par le besoin elle apporte l'aiguillon du
travail. Autrefois, tu filais une mine de laine dans ta journée ; l'aînée de
tes filles en filait une mine et un tiers, et la plus jeune une demi-mine.
Maintenant à vous trois vous n'en filez plus que le poids d'une mine jusqu'au
repas du soir.
*Maintenant, combien chacune file-t-elle de mines de
laine ?
(Métrodore, 134, 63)
Solution 30. La somme de 1, 4/3 et 1/2 est 17/6. On
fait : 1 ´ 6/17 = 6/17. Ce nombre correspond à
la part de la mère. Pour les filles, on fait : 6/17 ´
4/3 = 8/17 et 6/17 ´ 1/2 = 3/17.
La mère file 0,35 mine, l’aînée 0,47 mine et la plus
jeune 0,18 mine.
Récréation 31
[Deux statues A et B dialoguent :]
A. - La base sur
laquelle je repose est avec moi égale à ce que tu pèses.
B. - Et moi, j'ai un
poids égal au tien avec ma base.
A. - Mais, seule,
j'ai une pesanteur double de celle de ta base.
B. - Et moi, seule
aussi, je pèse trois fois le poids de ta base.
*Quel est le rapport du poids de la statue de A à celui de
la statue de B ?
(Métrodore, 144, 65)
Solution 31. Le poids de la base et de la statue de A sont
égaux au poids de la statue de B. Le poids de la statue de B est égal à celui
de la A plus celui de la base de B. De ceci, on tire que les poids des deux
bases sont égaux.
Comme le poids de la statue de A est 2 fois celui de la base
de B (ou A) et que le poids de la statue de B est 3 fois celui de la base de A
(ou B), le rapport du poids de la statue de A à celui de la statue de B est
2/3.
Récréation 32
A. -
Donne-moi dix mines, et je deviens le triple de toi.
B. - Et moi, si tu me
donnes dix mines aussi, je deviens le quintuple de toi.
*Combien chacun possède-t-il de mines ?
(Métrodore, 145, 65)
Note. Dans l’Anthologie, la réponse n’est pas donnée.
Solution 32. L’avoir de A est égal à trois l’avoir de B
moins 40 ou A = 3B - 40 (propos de A). Cinq fois l’avoir de A égalent l’avoir
de B plus 60 ou 5A = B + 60 (propos de B). Des deux équations, on trouve que A
= 15,7 et B = 18,6.
A possède 15,7 mines et B 18,6 mines.
Récréation 33
A. -
Donne-moi deux mines, et je deviens le double de toi.
B. - Et moi, si tu me
donnes aussi deux mines, je deviens le triple de toi.
*Combien chacun possède-t-il de mines ?
(Métrodore, 146, 65)
Note. Dans l’Anthologie, la réponse n’est pas donnée.
Solution 33. L’avoir de A est égal à deux fois l’avoir
de B moins 6 ou A = 2B - 6 (propos de A). Trois fois l’avoir de A égalent l’avoir
de B plus 8 ou 3A = B + 8 (propos de B). Des deux équations, on trouve que A =
4,4 et B = 5,2.
A possède 4,4 mines et B 5,2 mines.
VI. Remplissage
Récréation 34
- Je suis un lion de
bronze ; deux jets jaillissent de mes yeux, un autre de ma gueule, un autre de
mon pied. En deux jours, mon oeil droit remplit le bassin, mon oeil gauche en
trois, et mon pied en quatre jours. Pour le remplir, six heures suffisent au jet
d'eau de ma gueule.
Si tous les jets, et de mes yeux et de ma gueule et de mon
pied, coulent à la fois, en combien d'heures le bassin sera-t-il rempli ?
(Anonyme, 7, 42)
Solution 34. En une heure, l’œil droit peut remplir 1/48
du bassin, l’œil gauche 1/72, le pied 1/96, la gueule 1/6. La somme des 4
fractions est 61/288 : ce qui correspond à la fraction du bassin qui
serait rempli en une heure. On fait : 288 ¸ 61
= 4,72.
Le bassin sera rempli en 4,72 heures.
Récréation 35
- De quatre fontaines, l'une remplit un
bassin en un jour, l'autre en deux, l'autre en trois, la quatrième en quatre
jours.
En combien de temps, toutes ensemble rempliraient-elles le
bassin ?
(Métrodore, 130, 62)
Solution 35. En un jour, les fontaines peuvent remplir
respectivement 1, 1/2, 1/3 et 1/4 du bassin. La somme est 25/12. On
fait : 24 ´ 12/25 = 11,52.
Le bassin serait rempli en 11 heures et 31 minutes.
Récréation 36
- Ouvre-moi, et en quatre heures je
remplirai ce bassin de mes abondantes eaux. [Au robinet de droite, il en faudra
autant d'heures en sus pour le remplir ; au robinet de gauche, il en faudra
deux fois autant en sus.] Que tous les deux épanchent leurs ondes avec les
miennes, et quelques heures de la journée suffiront pour remplir le bassin.
*Combien de temps sera nécessaire pour remplir le
bassin ?
(Métrodore, 131, 62)
Note. Le texte remplacé est : " Le robinet de
droite m'est inférieur d'autant d'heures, et il lui faudra autant d'heures en
sus pour le remplir ; au robinet de gauche, il en faudra deux fois
autant. "
Solution 36. Le premier robinet remplira le bassin en 4
heures, celui de droite en 8 heures, celui de gauche en 12 heures. Les
trois robinets ensemble rempliront en une heure les 1/4, 1/8 et 1/12, soit
11/24 du bassin. On fait : 24 ¸ 11 =
2,18.
Le bassin sera rempli en 2 heures et 11 minutes.
Récréation 37
- C'est le cyclope Polyphème en bronze. On
lui a fait un oeil, une bouche, une main qui communiquent à des réservoirs, et
il semble tout ruisselant : on dirait un fleuve à sa source. Chacune de ses
fontaines est bien réglée : laissez couler celle de la main, en trois jours
elle remplira le bassin ; celle de l'oeil, en un jour ; en deux cinquièmes de
jour, celle de la bouche.
Qui pourra dire en combien de temps le bassin sera rempli,
toutes les fontaines coulant ensemble [si on considère un jour de 24 heures] ?
(Métrodore, 132, 63)
Solution 37. En un jour, les fontaines peuvent remplir
respectivement 1/3, 1 et 5/2. La somme est 23/6. On fait 24 ´
6/23 = 6,26.
Le bassin sera rempli en 6 heures et 16 minutes.
Récréation 38
- Quelle belle eau déversent dans ce bassin ces deux fleuves
et le gracieux Bacchus ! Mais ce n'est pas avec une égale abondance : le Nil,
en coulant un jour remplirait le bassin, si grand est le volume qu'il lance ! Le
thyrse de Bacchus, dieu du vin, le remplirait en trois jours, et ta corne,
Achéloüs, en deux. Maintenant, tous ensemble, coulez, et dans quelques heures
le bassin se trouvera rempli.
*Combien de temps sera nécessaire pour remplir le
bassin si on considère un jour de 24 heures ?
(Métrodore, 133, 63)
Solution 38. En un jour, le bassin serait rempli
respectivement aux 1, 1/3 et 1/2. La somme est 11/6. On fait : 6/11 ´
24 = 13,09.
Le bassin entier sera rempli en 13 heures et 5 minutes.
Récréation 39
- Nous sommes ici trois Amours qui versons
dans ce beau canal l'eau des bains. À droite, moi, avec l'eau qui s'échappe de
mes ailes, je remplirai le bassin [canal] dans la sixième partie du jour. L'Amour
de gauche, de l'urne qu'il porte, le remplira en quatre heures. Celui du milieu,
avec son arc dont l'eau jaillit, y emploiera la moitié du jour.
Cherche en combien d'heures nous pourrions remplir le canal
avec l'eau de nos ailes, de l'arc et de l'urne [si on considère un jour de 12
heures].
(Métrodore, 135, 63)
Solution 39. Les trois Amours remplissent
respectivement le canal en 6, 4 et 2 heures. Dans une heure, les 1/6, 1/4,
1/2, soit les 11/12 du canal, seront remplis. On fait : 12 ¸
11 = 1,09.
Le canal sera rempli en 1 heure et 5 minutes.
VII. Temps
Récréation 40
- O toi qui indiques
si bien les heures, combien s'en est-il écoulé depuis ce matin ? Il reste deux
fois les deux tiers des heures écoulées. [On considère une période de 12
heures.]
(Anonyme, 6, 42)
Solution 40. Soit H le temps écoulé en heure. Il
reste 4/3 de H à écouler. La somme de H et de 4/3 de H est égale à 7/3
de H, ce qui correspond à 12 heures. D’où, H est égal à 5,14 heures.
Il s’est écoulé 5 heures et 8 minutes.
Récréation 41
- Le soleil, la lune et les constellations
du zodiaque circulaire ont ainsi constitué ton thème généthliaque : tu
resteras la sixième partie de ta vie auprès de ta mère devenue veuve ; la
huitième partie de ta vie se passera dans l'esclavage chez des ennemis ; à ton
retour, tu te marieras, tu auras un fils, un seul. Voilà ce que les dieux
t'accordent, et tu en jouiras le tiers de ta vie. Alors les Scythes feront
périr sous leurs glaives et ton fils et ta femme. Pour toi, après les avoir
longtemps pleurés, après leur avoir survécu vingt-sept ans, tu atteindras le
terme de tes jours.
*À quel âge cet homme a-t-il atteint le terme de ses
jours ?
(Métrodore, 124, 61)
Solution 41. La somme de 1/6, 1/8 et 1/3 est 5/8. Il
reste 3/8 qui correspond à 27. On prend les 8/3 de 27. Le résultat est
72.
Cet homme a atteint le terme de ses jours à 72
ans.
Récréation 42
- Cette tombe renferme Diophante. O
merveille ! elle dit mathématiquement combien il a vécu. Dieu lui accorda le
sixième de sa vie pour son enfance ; il ajouta un douzième pour que ses joues
se couvrissent du duvet des adolescents ; en outre, pendant [un septième de sa
vie], il fit brûler pour lui le flambeau d'hymen, et après cinq ans de mariage
il lui donna un fils, hélas ! unique et malheureux enfant, auquel la Parque ne
permit de voir que la moitié de la vie de son père. Pendant quatre ans encore,
consolant sa douleur par l'étude des chiffres, il atteignit enfin le terme de
sa vie.
*Quel âge avait Diophante au terme de sa vie ?
(Métrodore, 126, 61)
Solution 42. Le plus petit nombre divisible par 6, 12,
7 et 2 est 84. On vérifie si 84 convient. C’est le cas.
Diophante a vécu 84 ans.
Récréation 43
- Démocharès a passé le quart de sa vie, enfant ; le
cinquième, jeune homme. L'âge viril en a occupé le tiers ; et quand la
blanche vieillesse est venue, il a encore vécu treize ans.
*Quel âge avait Démocharès quand il est mort ?
(Métrodore, 127, 62)
Solution 43. Le plus petit nombre divisible par 4, 5 et
3 est 60. On vérifie si 60 convient. C’est le cas.
Démocharès avait 60 ans quand il est mort.
Récréation 44
- Briquetiers, je me hâte de bâtir cette
maison. Le temps est beau aujourd'hui, sans nuages, et je n'ai plus besoin de
beaucoup de briques : il ne m'en manque que trois cents. Or, à toi seul, tu en
fabriques autant en un jour [de 12 heures] ; ton fils ne se repose qu'après en
avoir fait deux cents ; ton gendre en fabrique autant et cinquante en plus.
Par votre travail commun, en combien d'heures ferez-vous la
fourniture demandée ?
(Métrodore, 136, 63)
Solution 44. En un jour, 750 briques sont fabriquées,
soit la somme de 300, 200 et 250. Comme le besoin est de 300 briques, on
fait : (300 ´ 12)/750 = 4,8.
La fourniture demandée pourra être faite en 4 heures
et 48 minutes.
Récréation 45
- O Diodore, l'honneur de la gnonomique,
dis-moi l'heure qu'il est, lorsque le soleil avec son char d'or parcourt le
ciel, de sa course n'ayant plus à faire que quatre fois autant que les trois
cinquièmes. Après quoi il se couche dans la mer d'Occident.
*Quelle heure est-il si on considère une période de 12
heures ?
(Métrodore, 139, 64)
Solution 45. Les 3/5 de 12 heures font 7,2 heures. La
différence entre H1 le nombre d’heures passées et H2
le nombre d’heures à venir est de 7,2. Par ailleurs, 4H2 = H1.
D’où, H1 = 9,6 et H2 = 2,4.
Il est 9 heures et 36 minutes.
Récréation 46
- Puissant Jupiter, est-ce que cette éclipse t'a plu, ainsi
qu'en pratiquent dans leurs magiques jeux les Thessaliennes ? La face de la lune
s'est obscurcie pour les mortels. J'en ai été le témoin. Or, il restait
encore de la nuit jusqu'à l'aurore deux fois deux sixièmes et [deux fois] un
huitième de la portion écoulée.
Combien reste-t-il de temps si on considère une période de
12 heures ?
(Métrodore, 140, 64)
Note. La réponse donnée dans l’Anthologie est incorrecte.
Pour qu’elle soit correcte, il faudrait remplacer huitième par septième
dans le problème.
Solution 46. On fait : 2(1/3 + 1/8) = 11/12. Soit
T le temps écoulé, T + 11T/12 = 12. D’où, T = 6,26. On fait 12 - 6,26
= 5,74.
Le temps qui reste est de 5 heures et 44 minutes.
Récréation 47
- Astronome, dis-moi le passage des
planètes et des étoiles au moment où ma femme est accouchée hier. C'était
le jour, et pour atteindre les mers où il se couche, le soleil avait à
franchir six fois les deux septièmes de l'espace qu'il avait parcouru depuis
son lever.
* Combien reste-t-il de temps avant le coucher du soleil si
on considère une période de 12 heures ?
(Métrodore, 141, 65)
Note. La réponse donnée dans l’Anthologie est incorrecte.
Solution 47. On fait : 6 ´
2/7 = 12/7. Soit T le temps écoulé, T + 12T/7 = 12. D’où, T = 4,42.
On fait : 12 - 4,42 = 7,58.
Le temps qui reste est de 7 heures et 35 minutes.
Récréation 48
- Fileuses, réveillez-vous. Il fait jour.
Déjà il s'est écoulé les cinquièmes des trois huitièmes de la journée.
*Combien reste-t-il de temps si on considère une période de
12 heures ?
(Métrodore, 142, 65)
Note. La réponse donnée dans l’Anthologie est incorrecte.
Solution 48. On fait : 1/5 ´
3/8 = 3/40, puis 12 ´ 3/40 = 0,9. Il s’est
écoulé 0,9 heure. On fait : 12 - 0,9 = 11,1.
Il reste 11 heures et 6 minutes.
Conclusion
Nous souhaitons que, des dizaines de
siècles plus tard, ces récréations pourront avoir une autre vie. Ces
problèmes semblent d’ailleurs constitués le premier recueil de récréations
mathématiques qui soit parvenu jusqu’à nous. D’ailleurs, Gaston Boucheny
(1865-1935), dans Curiosités et récréations mathématiques, croit que
les peuples anciens qui ont étudié les sciences ont proposé et résolu des
problèmes amusants. Dommage que plusieurs écrits aient été perdus.
Û
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