Aide-mémoire Système de numération

Numération

± Système de numération. - Ensemble de symboles qui, assemblés selon des règles précises, permettent d'écrire, de lire et de nommer des nombres. Depuis le début des temps, des dizaines de systèmes de numération ont été créés pour répondre à des besoins de mesures de quantité et de grandeur.

On raconte, qu'avant l'avènement d’un système de numération, un berger se servait de cailloux pour compter les moutons qui quittaient chaque matin pour le pâturage. À chaque fois qu'un mouton quittait, le berger déposait un caillou dans le creux d'un rocher. Le soir, au retour, il enlevait un caillou pour chaque mouton qui revenait au bercail. S'il restait des cailloux, c'est qu'il manquait un mouton pour chaque caillou non retiré. À ce moment, on ne connaissait pas les nombres, mais on essayait de trouver des moyens afin de contrôler la quantité de moutons. C'est à partir de besoins de cette nature que les systèmes de numération ont été inventés.

Notre système de numération est dit décimal, car il comporte dix chiffres. Il a été inventé par les Hindous avant l’ère chrétienne. Les Arabes l’ont introduit en Europe il y a environ 800 ans. Ce système finit par supplanter la numération romaine.

Base

La base correspond au nombre de symboles qui sont utilisés dans un système de numération où chaque chiffre a une valeur de position. Aussi, le système de numération décimale est dit en base dix. Ce système est basé sur des groupements de 10 et il est composé de 10 chiffres. En base deux, il y a deux chiffres : 0 et 1. On parle du système de numération binaire.

Ce système est basé sur la valeur de position des chiffres comme pour la numération décimale. Cependant, au lieu de faire des groupements de 10, on fait des groupements de 2. La suite des entiers consécutifs en base deux est: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10 000, 10 001, 10 010, 10 011, ... etc. Ce tableau indique, par rapport à la base 2, la valeur d'un chiffre selon sa position. On note que le nombre 10 011 en base 2 est égal à 16 + 2 + 1 = 19 en base 10.

Chiffres de rang n	8^e	7^e	6^e	5^e	4^e	3^e	2^e	1^er
Puissances de 2	128	64	32	16	8	4	2	1
Nombre en base 2				1	0	0	1	1

Appellation des nombres en base 10

Par convention, le facteur multiplicatif 1000 a été choisi pour classer les nombres. De droite à gauche, la première classe est celle des unités ; elle comprend les nombres de 0 à 999 (1, 2 ou 3 chiffres) et se partage en trois ordres : centaines d’unités, dizaines d’unités, unités simples. La classe suivante de droite à gauche est celle des mille ; elle comprend les nombres de 1000 à 999 999 (4, 5 ou 6 chiffres) et se partage en trois ordres : centaines de mille, dizaines de mille, unités de mille.

La même logique s’applique aux autres classes comme celles des millions, des milliards, des billions, etc. Dans le tableau suivant, la colonne "Europe" s’applique à l’Europe et au Québec ; la colonne "Américain" principalement aux États-Unis. L’équivalent de la valeur des classes est donné en français et en anglais. La colonne centrale indique la valeur de chaque classe en chiffres. Par exemple, un milliard étant égal à 10⁹, au long on écrirait 1 suivi de neuf zéros.

Europe	Équivalent		Américain	Équivalent
mille	mille	10³	thousand	thousand
million	mille mille	10⁶	million	thousand thousand
milliard	mille millions		billion	thousand million
billion	mille milliards	10¹²	trillion	thousand billions
billiard	mille billions	10¹⁵	quadrillion	thousand trillions
trillion	mille billiards	10¹⁸	quintillion	thousand quadrillions
trilliard	mille trillions	10²¹	sextillion	thousand quintillions
quatrillion	mille trilliards	10²⁴	septillion	thousand sextillions
quatrilliard	mille quatrillions	10²⁷	octillion	thousand septillions
quintillion	mille quatrilliards	10³⁰	nonillion	thousand octillions
quintilliard	mille quintillions	10³³	decillion	thousand nonillions
sextillion	mille quintilliards	10³⁶	undecillion	thousand decilions

Écriture des nombres

Pour écrire un nombre de trois chiffres ou moins, on écrit de gauche à droite le chiffre des centaines, celui des dizaines et celui des unités simples. S’il manque un ordre, on écrit 0, sauf si l’ordre est au début du nombre. Le nombre vingt s’écrit 20 (0 centaine, 2 dizaines et 0 unité simple). Le nombre huit cent cinq s’écrit 805 (8 centaines, 0 dizaine et 5 unités simples).

Pour écrire un nombre de plus de trois chiffres, la même convention s’applique sauf que le nombre est partagé en tranches de trois chiffres de droite à gauche. Le nombre douze mille cinquante s’écrit 12 050 (1 dizaine de mille, 2 unités de mille, 0 centaine, 5 dizaines et 0 unité simple).

Lecture des nombres

Pour lire un nombre de trois chiffres ou moins, on énonce d’abord la centaine, puis la dizaine et l’unité simple. S’il manque un ordre, on n’en fait pas mention. Le nombre 59 se lit cinquante-neuf (5 dizaines et 9 unités simples). Le nombre 509 se lit cinq cent neuf (5 centaines, 0 dizaine et 9 unités simples).

Pour lire un nombre de plus de trois chiffres, la même convention s’applique sauf que le nombre est partagé en tranches de trois chiffres de droite à gauche. La tranche de gauche peut n’avoir qu’un ou deux chiffres. Le nombre 53 060 se lit cinquante-trois mille soixante (5 dizaines de mille, 3 unités de mille, 0 centaine, 6 dizaines et 0 unité simple).

Index : N

Voir aussi Numération dans le Dictionnaire de mathématiques récréatives.