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Cube
1e En arithmétique, le cube d’un nombre s’obtient
en multipliant un nombre trois fois par lui-même. Exemple : 4 × 4 × 4 = 64. D’où, 64 est le cube de 4. Les cubes
des 10 plus petits entiers sont :
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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1 |
8 |
27 |
64 |
125 |
216 |
343 |
512 |
729 |
1000 |
Si on soustrait le cube de sa racine, on obtient
successivement 0, 6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, etc. Ces nombres peuvent être
décomposés ainsi : 6 = 2 × 3, 24 = 2 × 3 × 4, 60 = 3 × 4 × 5, 120 = 4 ×
5 × 6, 210 = 5 × 6 × 7, 336 = 6 × 7 × 8, 504 = 7 × 8 × 9. Bref, la
différence d’un cube et de sa racine est le produit de trois nombres
consécutifs.
Dans le triangle ci-après formé de suites horizontales et
de suites verticales, on peut trouver les cubes par l’addition des nombres de
chaque ligne.
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1 |
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= |
1 |
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3 |
5 |
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= |
8 |
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6 |
9 |
12 |
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= |
27 |
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10 |
14 |
18 |
22 |
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= |
64 |
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15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
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|
= |
125 |
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21 |
27 |
33 |
39 |
45 |
51 |
|
= |
216 |
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28 |
35 |
42 |
49 |
56 |
63 |
70 |
= |
343 |
Il existe une relation entre la somme des cubes consécutifs
et le carré des nombres triangulaires. Ainsi, on peut écrire : 13
+ 23 = 32, 13 + 23 + 33 =
62, 13 + 23 + 33 + 43 =
102, 13 + 23 + 33 + 43 +
53 = 152, 13 + 23 + 33 +
43 + 53 + 63 = 212. On peut
écrire différemment ces identités :
13 + 23 = (1 + 2)2
13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2
13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3
+ 4)2
13 + 23 + 33 + 43 + 53
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
13 + 23 + 33 + 43 + 53
+ 63 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2
Voici trois
propriétés des cubes :
1. Les cubes des nombres dont l’unité est 1, 4, 5, 6 ou 9 se terminent par
ces mêmes chiffres.
2. Les cubes dont l’unité
est 2, 3, 7, 8 se terminent respectivement par 8, 7, 3, 2.
3. Tout cube est un
multiple de 9 ou encore un multiple de 9 auquel on additionne ou soustrait l’unité.
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La première partie
traite du cube en arithmétique et la seconde du cube en
géométrie.
Voir aussi Cube
dans le Dictionnaire de mathématiques récréatives.
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