Cube

1^e En arithmétique, le cube d’un nombre s’obtient en multipliant un nombre trois fois par lui-même. Exemple : 4 × 4 × 4 = 64. D’où, 64 est le cube de 4. Les cubes des 10 plus petits entiers sont :

Si on soustrait le cube de sa racine, on obtient successivement 0, 6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, etc. Ces nombres peuvent être décomposés ainsi : 6 = 2 × 3, 24 = 2 × 3 × 4, 60 = 3 × 4 × 5, 120 = 4 × 5 × 6, 210 = 5 × 6 × 7, 336 = 6 × 7 × 8, 504 = 7 × 8 × 9. Bref, la différence d’un cube et de sa racine est le produit de trois nombres consécutifs.

Dans le triangle ci-après formé de suites horizontales et de suites verticales, on peut trouver les cubes par l’addition des nombres de chaque ligne.

Il existe une relation entre la somme des cubes consécutifs et le carré des nombres triangulaires. Ainsi, on peut écrire : 1³ + 2³ = 3², 1³ + 2³ + 3³ = 6², 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10², 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 15², 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ = 21². On peut écrire différemment ces identités :
1³ + 2³ = (1 + 2)²
1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)²
1³ + 2³ + 3³ + 4³ = (1 + 2 + 3 + 4)²
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)²

Voici trois propriétés des cubes :
1. Les cubes des nombres dont l’unité est 1, 4, 5, 6 ou 9 se terminent par ces mêmes chiffres.

2. Les cubes dont l’unité est 2, 3, 7, 8 se terminent respectivement par 8, 7, 3, 2.

3. Tout cube est un multiple de 9 ou encore un multiple de 9 auquel on additionne ou soustrait l’unité.

2^e En géométrie, le cube est un solide dont les six faces sont formées par des carrés de même grandeur. Le dé a la forme d’un cube. Le cube est aussi appelé hexaèdre régulier.

Voir aussi Cube dans le Dictionnaire de mathématiques récréatives.

© Charles-É. Jean

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